Pinsker 不等式的简单证明

网上有很多很多关于 Pinsker 不等式的证明方法，但是我没有看到一个用数学归纳法证明的，也没有看到一个不加先验定义的自包含的证明。下面我给出一个关于一个极简的证明。任何的引用请注明本出处。

Pinsker 不等式

请证明如下不等式：
$$\sum _{i=1}^n{a}_i\ln \frac{a_i}{b_i}\ge \sum _{i=1}^n(a_i-b_i{)}^2$$
此处，$a_i\ge 0,b_i\ge 0,i=1,\cdots ,n$，且${\sum }_{i=1}^n{a}_i=1,{\sum }_{i=1}^n{b}_i=1$。

准备工作

引理 1：$p_1,p_2,q_1,q_2$都是正实数，那么
$$p_1\ln \frac{p_1}{q_1}+p_2\ln \frac{p_2}{q_2}\ge (p_1+p_2)\ln \frac{p_1+p_2}{q_1+q_2}$$

证明：
令
$$r=\frac{p_1+p_2}{q_1+q_2}$$.
只要证：
$$p_1\ln \frac{p_1}{r{q}_1}+p_2\ln \frac{p2}{r{q}_2}\ge 0$$.
容易验证，$\ln x\ge 1-\frac{1}{x},\forall x\ge 0$。则有，
$$p_1\ln \frac{p_1}{r{q}_1}+p_2\ln \frac{p2}{r{q}_2}\ge p_1(1-\frac{r{q}_1}{p_1})+p_2(1-\frac{r{q}_2}{p_2})=p_1-r{q}_1+如何在\; Frama-C\; +\; EVA\; 中证明非确定性值的简单等式？$$

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