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引言
- 数学的起点，是从逻辑推理和证明得来的，而非测量和实验出来的。
- 数学的预见性是用推理走出认知盲区，对于很多云山雾罩的事情，我们只需要在逻辑上推演一遍，就能把问题的真相搞清楚了。
康德讲：“世界上只有两样东西是值得我们深深景仰的，一个是我们头上的灿烂星空，另一个是我们内心的崇高道德法则。”
星空，其实是指包括数学这样的知识体系。
I 预备知识：反证法
1.1 反证法
先假定你说的条件都满足，然后我来找出矛盾之处，这样就能推翻原来的假设。
1.2 案例：希帕索斯发现了无理数
毕达哥拉斯的学生希帕索斯在用毕达哥拉斯定理时，发现了问题。
数学小课堂：对数的认知-从具体到抽象（方程）(代码片段)
...解题的“笨办法”1.3方程II题目抽象成同一类题目2.1学习数学的关键2.2数学的本质是工具引言给你一个个具体问题的解法，而不是一套系统的方法，再多解法也难穷尽所有的问题。方程是一种工具，这种工具有一整套合乎逻辑的... 查看详情
数学小课堂：无穷小（用动态和极限的眼光看世界）(代码片段)
...类，难以理解瞬间突变。老师的作用，就是用大白话，把数学语言所写的知识，翻译成大家容易明白的内容。做不到这一点，还不如让学生自学。I极限1/2+1/4+1/8+1/16…..的极限仅仅是1。画一条1厘米的线段，在0.5厘米的位置标一下... 查看详情
数学小课堂：数学的线索（从猜想到定理再到应用的整个过程）
文章目录引言I勾股定理1.1勾三股四弦五1.2数学和自然科学的三个本质差别1.3总结引言从猜想到定理再到应用的整个过程是数学发展和体系构建常常经历的步骤。I勾股定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方之和等于斜边的... 查看详情
数学小课堂：数学应用（化繁为简）
...的折纸法1.5学了知识，关键要使用好。引言真正高水平的数学家，不仅能够研究复杂的理论问题，还能够为复杂的实际问题找到简单的，可重复使用的解决方法。华罗庚先生的贡献在于找到了一种一线职工都很容易掌握和运用的... 查看详情
数学小课堂：集合论的公理化过程（用构建公理化体系的思路来构建自然数）
...然数III线性规划问题(线性代数+最优化)3.1题目3.2答案引言数学是一个公理化的体系，是数学对其它知识体系有启发的地方。数学的思维方式：不轻易相信没有根据的结论，一切要从公理出发，用逻辑得到结论；在解决问题之前先... 查看详情
数学小课堂：数学难题的意义（善用工具和跳出圈外）
...学中的古典难题（几何作图题）1.1伽罗瓦1.2伽罗瓦理论II数学难题的启发2.1跳出圈外2.2工具的作用引言毕达哥拉斯定理做保障：任何自然数的平方根都可以用圆规和直尺作出来高斯用直尺和圆规作图解决正十七边形画法的问题，... 查看详情
数学小课堂：数学边界(代码片段)
...的推广1.2一波三折的定理证明过程1.3希尔伯特第十问题II数学的边界2.1认识论问题2.2在边界内做事情2.3总结引言了解数学本身的局限性，才能更好地使用它的原理和思维方式。数学的边界，这是一个硬的边界，大家不要试图逾越... 查看详情
数学小课堂：数学思维（从逻辑出发想问题）(代码片段)
...用逻辑发现问题2.1案例：“一带一路”2.2矛盾律引言利用数学原理思考问题，并且久而久之在遇事时本能地用一个数学的头脑辅助判断。I“复利”增长是无法长期为继的投资基数较小的时候，能够维持指数增长，一旦基数变大... 查看详情
数学小课堂：微积分复盘（高等数学本质上是对趋势的动态描述，是对各种相关性抽象的表述。）
...实与虚构1.3有穷和无穷1.4静态和动态1.5直觉和逻辑II通过数学逻辑，理解人生。2.1精明与聪明2.2朋友和理性的对手2.3攒钱和赚钱2.4荣誉和财富引言高等数学本质上是对趋势的动态描述，是对各种相关性抽象的表述。I复盘1.1概念和... 查看详情
数学小课堂：无穷小（以动态的眼光看待世界，理解无限的世界）
...方式。I芝诺四个著名的悖论严守逻辑的思维方式，才让数学和自然科学成体系地发展。看似正确的逻辑，本身可能有问题，因为有概念的缺失，芝诺的这第三和第四个悖论就属于 查看详情
数学小课堂：虚数的媒介工具作用（虚构一个现实中不存在的概念，来解决现实问题）
文章目录引言I预备知识1.1平方根1.2三次方程1.3极坐标II虚数2.1虚数的来源2.2理解虚数存在的必要性2.3虚数的影响III复数3.1人类认知升级的过程3.2数字的扩展历史3.3复数的用途引言虚数的来源和存在的必要性：三次方程是一定有实... 查看详情
数学小课堂：数学的用途（黄金分割）
...何图形的相似性1.2自然界的物理学特征（螺旋线）1.3利用数学指导音乐II使用几何学技术将绘画变得逼真2.1单点透视法2.2视觉的数学原理(透视的视觉效果)引言黄金分割比例大约是1:0.618，也就是1.618。符合黄金比例的雕塑或建筑... 查看详情
数学小课堂：千禧年问题（我们必须知道，我们必将知道。）
...与光滑性1.6贝赫和斯维讷通-戴尔猜想1.7霍奇猜想引言在数学上，只有公理是显然的，其他任何结论都要经过证明得出。1900年德国数学家大卫·希尔伯特提出了23个历史性的数学难题，经过一百年，大约有17个难题得到了解决，或... 查看详情
数学小课堂：加密的本质是数学的不对称性(代码片段)
文章目录引言I加密的本质1.1非对称加密1.2案例：利用区块链协议验证房产证II椭圆曲线加密2.1椭圆曲线2.2椭圆曲线的性质2.3椭圆曲线与加密的关系2.4应用引言常常为了便利，不得不开放许多信息的访问权限，好让对方验证真伪，... 查看详情
合情推理的方法模式
...,实验,联想,猜测,矫正与调控等方法.波利亚很早就注意到数学有两个侧面,……用欧几里得方式提出来的数学是一门系统的演绎科学;但在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学.因此,他明确提出有两种推理:论证推理可用来确定... 查看详情
布尔数学体系
...理原则的学科，最早由古希腊学者亚里士多德创建的。用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑。也叫做符号逻辑。 产生编辑利用计算的方法来代替人们思维中的逻辑推理过程，这种... 查看详情
数学小课堂：三次方程（定理发明的过程）(代码片段)
...1.1通解发明权之争1.2费拉里-塔尔塔利亚公式1.3Mathematica1.4数学定理发明的过程引言学习数学，最重要的是把实际问题变成数学问题，然后知道如何利用各种软件工具来解决。方程是一个能把具体问题，等量转化成类型问题的好工... 查看详情
数学小课堂：数列和级数（要知道当下很重要，但趋势更重要。）(代码片段)
...数列1.3等比数列(几何数列)1.4级数（数列的求和）1.5学习数学的技巧II数列和数字的关系2.1斐波那契数列的增长速率2.2碳-14测定法（等比数列的应用）2.3数列的意义引言通过学习一些数学知识和方法，帮助我形成了系统的做事方... 查看详情