关键词：
均值不等式的来龙去脉
一、为什么叫均值不等式？
来自百度百科的说明，表达式(H_nleq G_nleq A_nleq Q_n)被称为均值不等式，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。
已知对于(n)个实数(x_1，x_2，cdots，x_n)而言，
(H_n=cfracnsumlimits_k=1^ncfrac1x_k=cfracncfrac1x_1+cfrac1x_2+cdots+cfrac1x_n)，被称为调和平均数；(G_n=sqrt[n]prodlimits_k=1^nx_k=sqrt[n]x_1x_2cdots x_n)，被称为几何平均数；
(A_n=cfracsumlimits_k=1^nx_kn=cfracx_1+x_2+cdots+x_nn)，被称为算术平均数；(Q_n=sqrtcfracsumlimits_k=1^nx^2_kn=sqrtcfracx^2_1+x^2_1+cdots+x^2_nn)，被称为平方平均数；
由于上述不等式的四个部分，分别代表了(n)个实数的四种不同形式的(均值)平均数，所以经常被称作均值不等式。
在高中阶段，当(n=2)时，比如已知两个正实数(a，b)，比照上面我们就有了：
(H_2=cfrac2cfrac1a+cfrac1b=cfrac2aba+b)，称为两个正实数(a，b)的调和平均数；
(G_2=sqrtab)，称为两个正实数(a，b)的几何平均数；
(A_2=cfraca+b2)，称为两个正实数(a，b)的算术平均数；
(Q_2=sqrtcfraca^2+b^22)，称为两个正实数(a，b)的平方平均数；
这样我们就得到了一个重要的不等式组： (box[10px,yellow,border:2px dashed red]cfrac2cfrac1a+cfrac1b= cfrac2aba+bleq sqrtableq cfraca+b2leq sqrtcfraca^2+b^22)
二、如何证明(高中阶段的均值不等式)
一个公知的数学常识：对于任意的实数(x，yin R)，((x-y)^2ge 0)，将其展开就得到(x^2+y^2ge 2xy)。
此时我们做个代换，令(x=sqrta)，(y=sqrtb)，代入上式就得到((sqrta)^2+(sqrtb)^2ge 2sqrtab)，其中(age 0，bge 0)
实际应用中常常不考虑为零的情形，故有：(cfraca+b2gesqrtab(a，b>0)[当且仅当a=b时取到等号])，下来以此为基础我们证明其他部分
由(cfrac1a ightarrow a)，(cfrac1b ightarrow b)， 代入上式得到(cfraccfrac1a+cfrac1b2gesqrtcfrac1ab(a，b>0))，变换即得到(cfrac2cfrac1a+cfrac1aleq sqrtab[当且仅当a=b时取到等号])；
由(a^2+b^2ge 2ab)，两边同加(a^2+b^2)，得到(2(a^2+b^2)ge (a+b)^2)，开方得到(sqrt2(a^2+b^2)ge a+b)，两边同除以2，得到(cfraca+b2leq sqrtcfraca^2+b^22[当且仅当a=b时取到等号])；
故有：(cfrac2cfrac1a+cfrac1b= cfrac2aba+bleq sqrtableq cfraca+b2leq sqrtcfraca^2+b^22[当且仅当a=b时取到等号])
三、几个常用的结论
- (a^2+b^2+c^2ge ab+bc+ca)
证明：((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2ge 0)，打开整理就是 (a^2+b^2+c^2ge ab+bc+ca)(当且仅当(a=b=c)时取到等号)；
重要不等式的实际应用举例：
设(A、B、C、D)是半径为2的球面上的四点，且满足(ABperp AC)，(ADperp AC)，(ABperp AD)，则(S_Delta ABC+S_Delta ABD+S_Delta ACD)的最大值是________.
分析：结合题意，依托球内接长方体，则球体的直径的平方等于三个长方体的长宽高的平方和，
故设(AB=a)，(AC=b)，(AD=c)，则有(a^2+b^2+c^2=4^2=16)；
由重要不等式可知，(a^2+b^2+c^2ge ab+bc+ac)(当且仅当(a=b=c)时取等号)；
则(S_Delta ABC+S_Delta ABD+S_Delta ACD=cfrac12(ab+bc+ac)leq cfrac12(a^2+b^2+c^2)=8)；
即所求的最小值为8。
- 已知(a>0,b>0,a+b=1)，可知(ab)的范围。
分析：(1=a+bge 2sqrtab)，故有(0<sqrtableq cfrac12)，即(0< ableq cfrac14)。
转载vc维的来龙去脉
本文转载自 火光摇曳原文链接：VC维的来龙去脉目录：说说历史Hoeffding不等式ConnectiontoLearning学习可行的两个核心条件EffectiveNumberofHypothesesGrowthFunctionBreakPoint与ShatterVCBoundVCdimension深度学习与VC维小结参考文献 VC维... 查看详情
vc维的来龙去脉（转载）
原始来源已不可考，作者名为：火光摇曳。本文仅做学习之用，如有侵权，请联系我。本文来源：http://www.thebigdata.cn/JiShuBoKe/14027.html目录：说说历史Hoeffding不等式ConnectiontoLearning学习可行的两个核心条件EffectiveNumberofHypothesesGrowthF... 查看详情
均值不等式习题
(fbox例1)均值不等式中有一类常考题型，比如，求限定条件下的最值问题，对应的解决方法是：常数代换,乘常数再除常数。【模型1】：已知(2m+3n=2，m>0，n>0)，求(cfrac4m+cfrac1n)的最小值。(给定条件是整式，求分式的最值，常数... 查看详情
广义均值不等式的证明
广义均值不等式（默认数域为\\(\\mathbbR\\)）：\\(\\foralla_i>0\\)，\\(r_1,r_2\\neq0\\)，\\(r_1<r_2\\)，均有\\[\\sum_i=1^n^\\frac1r_1\\frac1na_i^r_1\\le\\sum_i=1^n 查看详情
浅谈均值不等式
定义 其中，被称为调和平均数，被称为几何平均数，被称为算术平均数，被称为平方平均数且证明引理1若，则，当且仅当时取等。证明：当时，有，因为，且时取等，所以此时成立。假设当时成立，则当时有因为所以，取... 查看详情
均值不等式
调和平均数：Hn =n/(1/a1+1/a2+…+1/an)几何平均数：Gn=(a1*a2*……*an)1/n算术平均数：An=(a1+a2+…+an)/n平方平均数：Qn=[(a1^2+a2^2+…+an^2)/n]1/2 有Hn<=Gn<=An<=Qn 查看详情
均值不等式中四个“平均数”的大小关系
...的话，可以用中位数。参考资料来源：百度百科——均值不等式参考资料来源：百度百科——平均数参考技术AHn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数， 查看详情
莫队算法分块大小玄学调参指南
...分块大小怎么算...两个指针复杂度(O(u*n+fracn^2u))根据均值不等式，(u*n+fracn^2u)在(u*n=fracn^2u)时取最小值即(u=sqrtn)三个指针（带修）复杂度(O(u*n+fracn^2u+fracn^3u^2))显然，(fracn^2u<fracn^3u^2)(作商法)根据均值不等式，(u*n+fracn^3u^2)在(u*n=fra... 查看详情
从（叠加）分布创建不等间距的值
...个具有不等间距值的数组。间距应由（例如）具有不同平均值和宽度值的两个正态分布的叠加来确定。对于单个（正常）发行版，我在这篇文章的帮助下设法得到了我想要的东西：python,weightedlinspace 查看详情
2016-2017指导2017届毕业生8名(48)
2016-2017指导2017届毕业生8名(48)何丽洁:Hadamard不等式及其在特殊均值中的应用乐贤:Littlewood四原理的研究林娟:不变子空间的若干研究王玲:单调不减的连续可微有界函数的研究吴思思:一种新的Gronwall-Bellman型积分不等式陈玉婷:凸函... 查看详情
理解markov,chebyshev,chernoff概率不等式
Markovinequality若Y是非负随机变量，对于所有y>0\\displaystyley>0y>0,都有PrY≥y≤E[Y]y\\mathrmPr\\Y\\geqy\\\\leq\\frac\\operatornameE[Y]yPrY≥y≤yE[Y]如上图，yPrY≥y\\displaystyley\\mathrmPr\\Y\\geqy\\yPrY≥y是阴影部分的面积，而整个曲... 查看详情
理解markov,chebyshev,chernoff概率不等式
Markovinequality若Y是非负随机变量，对于所有y>0\\displaystyley>0y>0,都有PrY≥y≤E[Y]y\\mathrmPr\\Y\\geqy\\\\leq\\frac\\operatornameE[Y]yPrY≥y≤yE[Y]如上图，yPrY≥y\\displaystyley\\mathrmPr\\Y\\geqy\\yPrY≥y是阴影部分的面积，而整个曲... 查看详情
sigai机器学习第二十四集高斯混合模型与em算法
...算法的流程k均值算法的实现细节问题实验EM算法简介Jensen不等式EM算法的原理推导收敛性证明聚类算法是无监督学习的典型代表，前边讲过的数据降维算法是无监督学习的另外一种典型代表。 查看详情
文化课学习
...记录一下日常生活，然后没事的时候念念诗4.8数学：复习不等式，(p62,63,66,67)练习,明天再稍微看一下均值不等式物理：从运动开始复习。公式整理直线运动-三年高考(2015-2017)物理试题分项版解析+Word版做完了前6道题，大部分都能... 查看详情
应用统计学简单随机抽样的区间估计和样本容量的确定
...水平α，有 将式(5.13)代入上式得到: 对上式括号内做不等式的等价变换后得到 查看详情
应用统计学简单随机抽样的区间估计和样本容量的确定
...水平α，有 将式(5.13)代入上式得到: 对上式括号内做不等式的等价变换后得到: 查看详情
能讲明白风险的来龙去脉，才能获得他人的支持！
能讲明白风险的来龙去脉，才能获得他人的支持！★如何有效管控项目风险？--摆脱每天救火的苦逼现状系列连载文章分享要点 文章概述第一部分：项目风险管理没有效果的三个主要原因第二部分：如何做到有逻辑的识别项... 查看详情
mt16利用柯西不等式求三角的最大值
评：此题也可以设$1+cos heta=t$,平方后变成$t$的单变量利用均值去做. 柯西平衡系数法其实就是待定系数法，利用等号取到的条件。 查看详情