均值不等式习题

(fbox例1)均值不等式中有一类常考题型，比如，求限定条件下的最值问题，对应的解决方法是：常数代换,乘常数再除常数。

【模型1】：已知(2m+3n=2，m>0，n>0)，求(cfrac4m+cfrac1n)的最小值。(给定条件是整式，求分式的最值，常数代换,乘常数再除常数，部分使用均值不等式)

分析如下：(cfrac4m+cfrac1n=cfrac12cdot (2m+3n）(cfrac4m+cfrac1n)=cfrac12cdot (8+3+cfrac2mn+cfrac12nm)=cdots)

【模型2】：已知(cfrac4m+cfrac1n=2，m>0，n>0)，求 (2m+3n)的最小值。(给定条件是分式，求整式的最值，常数代换,乘常数再除常数，部分使用均值不等式)

【对照1】：已知(cfrac1a+cfrac2b=1，a>0，b>0)，求 (cfrac2a-1+cfrac1b-2)的最小值。(给定条件是分式，求分式的最值，变量集中，再使用均值不等式)

【对照2】：已知(2a+b=1，a>0，b>0)，求 (a^2+2b^2)的最小值。(给定条件是整式，求整式的最值，变量集中，用函数求解最值)

改变限定条件的给出方式：

【变式1】限定条件以简单变形形式给出，

如已知(m>0，n>0，m+cfrac32n=1)，求(cfrac4m+cfrac1n)的最小值。

又或已知(m>0，n>0，cfrac1n+cfrac3n2m=cfrac1mn)，求(cfrac4m+cfrac1n)的最小值。

【变式2】限定条件以直线的形式给出，

如已知点(P(m，n))在直线(2x+3y=2，x>0，y>0)上，求(cfrac4m+cfrac1n)的最小值。

【变式3】已知直线(ax+by-6=0(a，b>0))过圆(x^2+y^2-2x-4y=0)的圆心(或直线平分此圆或圆上存在两个点关于直线对称)，求(cfrac4a+cfrac1b)的最小值。

【变式4】限定条件以线性规划形式给出，

如已知(x，y)满足约束条件(egincases &x+yge 3 \\ &x-yge -1 \\ &2x-yleq 3 endcases) ，若目标函数(z=ax+by（a＞0，b＞0）)的最大值为10，则(cfrac5a+cfrac4b)的最小值为多少？

【变式5】限定条件以极限或定积分的形式给出

如已知(limlimits_x o 1^+ f(x)=limlimits_x o 1^+cfracxx^2+3x+1=m+n)，求(cfrac4m+cfrac1n)的最小值。

如已知(int_0^2 x, dx=m+n，m>0，n>0)，求(cfrac4m+cfrac1n)的最小值。

【变式6】限定条件以二项式形式给出，如

已知((2x+1)^9)展开式中，含(x^3)项的系数为(m+n，m>0，n>0)，求(cfrac4m+cfrac1n)的最小值。

【变式7】限定条件以数列形式给出，如

已知正项等比数列(a_n)满足：(a_7=a_6+2a_5)，若存在两项(a_m，a_n)，使得(a_ma_n=16a_1^2)，求(cfrac4m+cfrac1n)的最小值。

【变式8】以三点共线的向量形式给出(如宝鸡市三检)，
设向量(overrightarrowOA=(1，-2))，(overrightarrowOB=(a，-1))，(overrightarrowOC=(-b，0))，其中(O)为坐标原点，(a，b>0)，若(A,B,C)三点共线，则(cfrac1a+cfrac2b)的最小值为多少？

分析：由三点共线的向量表达方式可知，(2a+b=1)，转化为最初的例子。

【变式9】以向量的垂直或平行形式给出

已知向量(veca=(m，1))，(vecb=(1，n-1))，若(vecaperpvecb)，则(cfrac4m+cfrac1n)的最小值。

分析：有条件(vecaperpvecb)可知(m+n=1)，即(cfrac1m+cfrac4n=(cfrac1m+cfrac4n)(m+n)=5+cfrac4nm+cfracmn=...)

【变式10】以对数方程的形式给出；

已知(x>0),(y>0)，(lg2^x+lg8^y=lg2)，求(cfrac1x+cfrac13y)的最小值。

分析：由已知条件可知，(x+3y=1)，求(cfrac1x+cfrac13y)

【变式11】以概率的形式给出；

比如一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为(a)，得2分的概率为(b)，不得分的概率为(c)（(a,b,cin (0,1))）,已知他投篮一次得分的均值为2，求(cfrac2a+cfrac13b)的最小值。
分析：由题目可知投篮一次得分的均值(EX=3a+2b=2(a>0,b>0))，求(cfrac2a+cfrac13b)的最小值。

【变式12】以解三角形和三角形的面积形式给出；

比如已知点M是(Delta ABC)内的一点，且(overrightarrowABcdot overrightarrowAC=2sqrt3)，(angle BAC=cfracpi6)，若(Delta MBC,Delta MCA,Delta MAB)的面积分别为(cfrac12,x,y)，求(cfrac1x+cfrac4y)的最小值。

分析：由(overrightarrowABcdot overrightarrowAC=2sqrt3)，(angle BAC=cfracpi6)，故有(|overrightarrowAB|cdot |overrightarrowAC|coscfracpi6=2sqrt3)，得到(bc=4)，所以(S_Delta ABC=cfrac12bcsincfracpi6=1),又(Delta MBC,Delta MCA,Delta MAB)的面积分别为(cfrac12,x,y)，故有(cfrac12+x+y=1)，即(x+y=cfrac12),

【变式13】以隐含条件的形式给出

比如函数(f(x)=cfrac1x+cfrac42-x，0<x<2)，求函数(f(x))的最小值。

提示：(f(x)=cfrac12cdot (cfrac1x+cfrac42-x)[x+(2-x)]=cfrac12cdot (1+4+cfrac2-xx+cfrac4x2-x)ge cfrac12(5+2sqrt4)=cfrac92)，当且仅当(cfrac2-xx=cfrac4x2-x)，即(x=cfrac23)时取到等号。

【变式14】以曲线的对称中心的形式给出

(2017广东揭阳联考)若直线(2ax+by-1=0(a>0，b>0))经过曲线(y=cospi x+1(0<x<1))的对称中心，则(cfrac2a+cfrac1b)的最小值为_____.

分析：做出简图可知，曲线(y=cospi x+1(0<x<1))的对称中心为((cfrac12，1))，代入直线得到条件(a+b=1)，

此时题目转化为，已知(a+b=1(a>0，b>0))，求(cfrac2a+cfrac1b)的最小值的题目，很显然，应用乘常数除常数的思路解决即可。

提示：((cfrac2a+cfrac1b)_min=3+2sqrt2).

【变式15】利用点线距的形式给出(2017浙江嘉兴一中模拟)

已知直线(sqrt2ax+by=1)(其中(ab eq0))与圆(x^2+y^2=1)相交于(A、B)两点，(O)为坐标原点，且(angle AOB=120^circ)，则(cfrac1a^2+cfrac2b^2)的最小值为_____________.

分析：自行做出示意图，结合题目条件，我们可以知道圆心到直线的点线距为(d=cfrac12)，

即(d=cfrac12=cfrac|sqrt2a imes 0+b imes0-1|sqrt2a^2+b^2)，即(2a^2+b^2=4)，

到此题目转化为已知(2a^2+b^2=4)，求(cfrac1a^2+cfrac2b^2)的最小值问题。

利用乘常数除常数的方法解决即可。

【变式16】利用换元法转化(2017(cdot)陕西西安质检)

已知实数(x，y)满足(x>y>0)，且(x+y=cfrac12) ，则(cfrac2x+3y+cfrac1x-y)的最小值是_________.

分析：换元法，令(x+3y=s>0)，(x-y=t>0)，

求解上述以(x，y)为元的方程组，得到(x=cfracs+3t4)；(y=cfracs-t4)；

由(x+y=cfrac12)，将上述结果代入得到(s+t=1)，

故此时题目转化为"已知(s+t=1)，(s，t>0)，求(cfrac2s+cfrac1t)的最小值”问题。

接下来，利用乘常数除常数的思路就可以求解。

简单提示如下：(cfrac2s+cfrac1t=(cfrac2s+cfrac1t)(s+t)=3+)(cfrac2ts+cfracstge 3+2sqrt2)(当且仅当(cfrac2ts=cfracst)及(s+t=1)时取到等号)

看完这些内容，你难道不觉得我们得好好的改造我们的学习方法吗，比如说留意限定条件的给出方式；

(fbox例1) (2017榆林模拟)已知正数(x,y)满足(x+2y-xy=0)，求(x+2y)的最小值。

分析：需要将已知条件变形为分式形式，只有这样才能出现乘积为常数，

由(x+2y-xy=0)得到(cfrac2x+cfrac1y=1)，

则(x+2y=(x+2y)cdot 1=(x+2y)(cfrac2x+cfrac1y)\\=2+2+cfracxy+cfrac4yxge 4+2sqrt4=8)

当且仅当(egincasescfrac2x+cfrac1y=1\\cfracxy=cfrac4yxendcases)，即(x=4，y=2)时取等号，故(x+2y)的最小值为8.

(fbox例2)不等式证明
已知(a>0,b>0,a+b=1)，

求证：(1).(cfrac1a+cfrac1b+cfrac1abge 8)

(2).((1+cfrac1a)(1+cfrac1b)ge 9)

分析：(1).(cfrac1a+cfrac1b+cfrac1ab=2(cfrac1a+cfrac1b)=2(cfraca+ba+cfraca+bb)=\\2(2+cfracab+cfracba)ge 2(2+2sqrt1)=8),

当且仅当(egincasesa+b=1\\a=bendcases)时，即(a=b=cfrac12)时取等号。

法2：(cfrac1a+cfrac1b+cfrac1ab=cfrac2ab)

由(1=a+bge 2sqrtab)得到(0<sqrtableq cfrac12)

故(0<ableq cfrac14)，故(cfrac1abge 4)，故(cfrac2abge 8)，当且仅当$a=b=cfrac12 $时取到等号。

(2).((1+cfrac1a)(1+cfrac1b)=(1+cfraca+ba)(1+cfraca+bb)\\(2+cfracba)(2+cfracab)=5+2(cfracba+cfracab)ge 5+2cdot2=9=)

(fbox例3)已知(a，bin R^+，a+b-ab+3=0)，1、求(ab)的范围；2、求(a+b)的范围；

1、求(ab)的范围；

解：(ecause -3+ab=a+bge 2sqrtab)

( herefore ab-2sqrtab-3ge 0)，

((sqrtab+1)(sqrtab-3) ge 0)

$sqrtableq -1 或 sqrtabge 3 $

又(a，bin R^+)，故 (sqrtabge 3 (当且仅当a=b=3取到等号))

故(abge 9)

2、求(a+b)的范围；

解：(ecause a+b+3=ab leq (cfraca+b2)^2，令t=a+b)

(t^2-4t-12 ge 0)，

$t leq -2 或 t ge 6 $

故 (a+b ge 6 (当且仅当a=b=3取到等号))

【评析】代数式中同时有(a+b)和(ab)型，两元(a+b，ab)常常转化集中为一元(a+b)或(ab)，这样就好处理多了。

【同类题】设(m，nin R)，则直线((m+1)x+(n+1)y-2=0)与圆((x-1)^2+(y-1)^2=1)相切，且(m+n)的取值范围是_________。

分析：由圆心((1 ,1))到直线的距离等于半径可得，

(cfrac(m+1)cdot 1+(n+1)cdot 1-2sqrt(m+1)^2+(n+1)^2=1) ，

变形得到(mn=m+n+1)，此时即转化为上述例3的类型了。

由(mnleq (cfracm+n2)^2)，则(m+n+1leq (cfracm+n2)^2)，

求解上述以(m+n)为整体的不等式，得到(m+nleq 2-2sqrt2)或者(m+nge 2+2sqrt2)；

(fbox例4)已知实数(a，b，c)满足(a+b+c=9，ab+bc+ac=24)，则(b)的取值范围是[1,5]。

解：由于(ab+bc+ac=(a+c)b+ac=24)

故(ac=24-(a+c)b leq (cfraca+c2)^2)

故(24-(a+c)b leq (cfraca+c2)^2)，(三元变成了两个元(a+c，b))

又因为(a+c=9-b)，

即(24-(9-b)b leq cfrac(9-b)^24),(两元(a+c，b)变成了一元(b))

即(b^2-6b+5 leq 0)

解得(1leq b leq 5)

(fbox例5)【2016.江西两市联考】已知(x，yin R^+)，且(x+y+cfrac1x+cfrac1y=5)，则(x+y)的取值范围是多少？

分析：先将已知表达式变形为(x+y+cfrac4x+y=5)，接下来的变形的方向就是想法替换掉(xy)，为此，

由(xyleq cfrac(x+y)^24)，得到(cfrac1xyge cfrac4(x+y)^2)，得到(cfracx+yxyge cfrac4x+y)，代入上述等式，得到

(x+y+cfrac4x+yleq 5)，得到((x+y)^2-5(x+y)+4leq 0)，解得(1leq x+y leq 4)。

(fbox例6)(2017(cdot)天津卷)

已知(a，bin R，ab>0)，求(cfraca^4+4b^4+1ab)的最小值。

分析：考虑到题目中(ab>0)，则一般不能把(a，b)单独拆开使用，应该看成一个整体变量，

这样(cfraca^4+4b^4+1abge cfrac4a^2b^2+1ab=4ab+cfrac1abge 4)，

当且仅当(a^4=4b^4)和(4ab=cfrac1ab)，

即(a^4=cfrac12)，(b^4=cfrac18)，(ab=cfrac12)时取到等号。

【例7】已知(x>1)，求(f(x)=x+cfrac1x-1)的最小值。

【引例1】已知(a>1，b>0， a+b=4)，求(cfrac1a-1+cfrac4b)的最小值。((a+b=4Longrightarrow (a-1)+b=3))

【引例2】已知(a>1，b>2， a+b=4)，求(cfrac1a-1+cfrac4b-2)的最小值。((a+b=4Longrightarrow (a-1)+(b-2)=1))

【引例3】已知(a>0，b>0， cfrac1a+cfrac1b=1)，求(cfrac1a-1+cfrac9b-1)的最小值。((b=cfracaa-1代入，变成关于a的一元，变量集中))

【引例4】函数(f(x)=cfrac1x+cfrac41-x)，则(f(x)=(cfrac1x+cfrac41-x)[x+(1-x)]=...)，注意隐含条件的发掘和利用。

(fbox例8)(2017凤翔中学高三理科第二次月考第16题)

设(x，y)满足约束条件(egincases2x-y+2ge 0\\8x-y-4leq 0\\xge 0，yge 0endcases，)若目标函数(z=ax+by(a>0，b>0))的最大值为4，则(cfraca+2bab)的最小值为多少？

分析：如图所示，要保证目标函数(z=ax+by(a>0，b>0))的最大值为4，则直线必须经过点((1，4))，即(a+4b=4)，所求条件(cfraca+2bab)变形为(cfrac1b+cfrac2a)，此时题目变成已知条件(a+4b=4(a>0，b>0))，求(cfrac1b+cfrac2a)的最小值，只需要仿照模型完成即可。

提示：(cfraca+2bab=cfrac1b+cfrac2a=cfrac14 imes (cfrac1b+cfrac2a) imes 4=cfrac14 imes (cfrac1b+cfrac2a) imes(a+4b)=cfrac14 imes (+6+cfracab+cfrac8ba)gecfrac64+cfrac14 imes2sqrt8=cfrac32+sqrt2)；当且仅当(a+4b=4)且(a^2=8b^2)取到等号。

(fbox例9)(2017天津一中月考)

设(a+b=2，b>0)，则(cfrac12|a|+cfrac|a|b)的最小值为__________.

分析：由题可知，(cfraca+b2=1)，则常数代换得到

(cfrac12|a|+cfrac|a|b=cfraca+b4|a|+cfrac|a|b=cfraca4|a|+cfracb4|a|+cfrac|a|b)

(ge cfraca4|a|+2sqrtcfracb4|a|cdot cfrac|a|b= cfraca4|a|+1)(当且仅当(b^2=4a^2)时等号成立)，

接下来分类讨论得到

当(a>0)时，(cfrac12|a|+cfrac|a|bge cfraca4a+1=cfrac54);

当(a<0)时，(cfrac12|a|+cfrac|a|bge cfraca-4a+1=cfrac34);

综上所述，(cfrac12|a|+cfrac|a|b)的最小值为(cfrac34);

解后反思：常数代换，部分使用均值不等式，分类讨论；

(fbox例10)(2017(cdot)陕西西安质检)

已知实数(x，y)满足(x>y>0)，且(x+y=cfrac12) ，则(cfrac2x+3y+cfrac1x-y)的最小值是_________.

分析：换元法，令(x+3y=s>0)，(x-y=t>0)，

求解上述以(x，y)为元的方程组，得到(x=cfracs+3t4)；(y=cfracs-t4)；

由(x+y=cfrac12)，将上述结果代入得到(s+t=1)，

故此时题目转化为"已知(s+t=1)，(s，t>0)，求(cfrac2s+cfrac1t)的最小值”问题。

接下来，利用乘常数除常数的思路就可以求解。

简单提示如下：(cfrac2s+cfrac1t=(cfrac2s+cfrac1t)(s+t)=3+)(cfrac2ts+cfracst)(=cdots)

(fbox例11)(2017(cdot)江西南昌十所省级重点中学模拟)

若正数(a，b)满足(cfrac1a+cfrac2b=1)，求 (cfrac2a-1+cfrac1b-2)的最小值_________。

分析：由(cfrac1a+cfrac2b=1)，变形得到(a=cfracbb-2)，变量集中。

又由于(a>0，b>0)，即(a=cfracbb-2>0)，即(b>2)，

则(cfrac2a-1+cfrac1b-2=cfrac2fracbb-2-1+cfrac1b-2=(b-2)+cfrac1b-2ge 2)

当且仅当(cfrac1b-2=b-2)，即(a=b=3)时，取得等号。

(fbox例12)【综合应用题目】
已知函数(f(x)=mlnx+x^2-mx)在((1，+∞))上单调递增，求m的取值范围．

【分析】由函数单调递增，转化为(f'(x)≥0)在((1，+∞))上恒成立，然后分离参数得到(m≤g(x))，用均值不等式求新函数(g(x))的最小值即可。

【解答】由题目可知，(f'(x)≥0)在((1，+∞))上恒成立，且(f'(x))不恒为零，

则有(f'(x)=cfracmx+2x-m=cfrac2x^2-mx+mx≥0)在((1，+∞))上恒成立，

即(2x^2-mx+m≥0)在((1，+∞))上恒成立，常规法分离参数得到

m≤(cfrac2x^2x-1=cfrac2(x-1)^2+4x-2x-1=cfrac2(x-1)^2+4(x-1)+2x-1=2(x-1)+cfrac2x-1+4)

由于(x>1)，故(2(x-1)+cfrac2x-1+4≥2sqrt4+4=8)，当且仅当(x=2)时取到等号。

故(m≤8)，当(m=8)时，函数不是常函数，也满足题意，故(m≤8)。

【点评】函数(f(x))在区间(D) 上单调递增，则(f'(x)≥0)在(D)上恒成立，且(f'(x))不恒为零；

函数(f(x))在区间(D)上单调递减，则(f'(x)≤0)在(D)上恒成立，且(f'(x))不恒为零；

此处要求(f'(x))不恒为零，意思是要排除函数(f(x))为常函数的情形。