这篇文章讲无权二分图(unweighted bipartite graph)的最大匹配(maximum matching)和完美匹配(perfect matching),以及用于求解匹配的匈牙利算法(Hungarian Algorithm);不讲带权二分图的最佳匹配。
二分图:简单来说,假设图中点能够被分为两组。而且使得全部边都跨越组的边界,则这就是一个二分图。准确地说:把一个图的顶点划分为两个不相交集 U和V 。使得每一条边都分别连接U、V中的顶点。
假设存在这种划分,则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是:不含有「含奇数条边的环」的图。图
1 是一个二分图。为了清晰,我们以后都把它画成图 2 的形式。
匹配:在图论中,一个「匹配」(matching)是一个边的集合,当中随意两条边都没有公共顶点。
比如,图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。
我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边。它们的含义很显然。比如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点,其它顶点为未匹配点。1-5、4-7为匹配边,其它边为非匹配边。
最大匹配:一个图全部匹配中。所含匹配边数最多的匹配,称为这个图的最大匹配。
图 4 是一个最大匹配,它包括 4 条匹配边。
完美匹配:假设一个图的某个匹配中。全部的顶点都是匹配点。那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。
显然,完美匹配一定是最大匹配(完美匹配的不论什么一个点都已经匹配,加入一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突)。但并不是每一个图都存在完美匹配。
举例来说:例如以下图所看到的。假设在某一对男孩和女孩之间存在相连的边。就意味着他们彼此喜欢。
是否可能让全部男孩和女孩两两配对。使得每对儿都互相喜欢呢?图论中。这就是完美匹配问题。
假设换一个说法:最多有多少互相喜欢的男孩/女孩能够配对儿?这就是最大匹配问题。
基本概念讲完了。求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法,以下讲的概念都为这个算法服务。
交替路:从一个未匹配点出发,依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。
增广路:从一个未匹配点出发,走交替路,假设途径还有一个未匹配点(出发的点不算),则这条交替路称为增广路(agumenting path)。
比如,图 5 中的一条增广路如图 6 所看到的(图中的匹配点均用红色标出):
增广路有一个重要特点:非匹配边比匹配边多一条。
因此。研究增广路的意义是改进匹配。仅仅要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换就可以。因为中间的匹配节点不存在其它相连的匹配边,所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后,图中的匹配边数目比原来多了 1 条。
我们能够通过不停地找增广路来添加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时。达到最大匹配(这是增广路定理)。匈牙利算法正是这么做的。在给出匈牙利算法 DFS 和 BFS 版本号的代码之前,先讲一下匈牙利树。
匈牙利树一般由 BFS 构造(类似于 BFS 树)。从一个未匹配点出发执行 BFS(唯一的限制是,必须走交替路),直到不能再扩展为止。比如。由图 7,能够得到如图 8 的一棵 BFS 树:
这棵树存在一个叶子节点为非匹配点(7 号),可是匈牙利树要求全部叶子节点均为匹配点,因此这不是一棵匈牙利树。假设原图中根本不含 7 号节点,那么从 2 号节点出发就会得到一棵匈牙利树。
这样的情况如图 9 所看到的(顺便说一句。图 8 中根节点 2 到非匹配叶子节点 7 显然是一条增广路,沿这条增广路扩充后将得到一个完美匹配)。
以下给出匈牙利算法的 DFS 和 BFS 版本号的代码:
// 顶点、边的编号均从 0 開始
// 邻接表储存
struct Edge
{
int from;
int to;
int weight;
Edge(int f, int t, int w):from(f), to(t), weight(w) {}
};
vector<int> G[__maxNodes]; /* G[i] 存储顶点 i 出发的边的编号 */
vector<Edge> edges;
typedef vector<int>::iterator iterator_t;
int num_nodes;
int num_left;
int num_right;
int num_edges;
int matching[__maxNodes]; /* 存储求解结果 */
int check[__maxNodes];
bool dfs(int u)
{
for (iterator_t i = G[u].begin(); i != G[u].end(); ++i) { // 对 u 的每一个邻接点
int v = edges[*i].to;
if (!check[v]) { // 要求不在交替路中
check[v] = true; // 放入交替路
if (matching[v] == -1 || dfs(matching[v])) {
// 假设是未盖点。说明交替路为增广路。则交换路径,并返回成功
matching[v] = u;
matching[u] = v;
return true;
}
}
}
return false; // 不存在增广路。返回失败
}
int hungarian()
{
int ans = 0;
memset(matching, -1, sizeof(matching));
for (int u=0; u < num_left; ++u) {
if (matching[u] == -1) {
memset(check, 0, sizeof(check));
if (dfs(u))
++ans;
}
}
return ans;
}
queue<int> Q;
int prev[__maxNodes];
int Hungarian()
{
int ans = 0;
memset(matching, -1, sizeof(matching));
memset(check, -1, sizeof(check));
for (int i=0; i<num_left; ++i) {
if (matching[i] == -1) {
while (!Q.empty()) Q.pop();
Q.push(i);
prev[i] = -1; // 设 i 为路径起点
bool flag = false; // 尚未找到增广路
while (!Q.empty() && !flag) {
int u = Q.front();
for (iterator_t ix = G[u].begin(); ix != G[u].end() && !flag; ++ix) {
int v = edges[*ix].to;
if (check[v] != i) {
check[v] = i;
Q.push(matching[v]);
if (matching[v] >= 0) { // 此点为匹配点
prev[matching[v]] = u;
} else { // 找到未匹配点,交替路变为增广路
flag = true;
int d=u, e=v;
while (d != -1) {
int t = matching[d];
matching[d] = e;
matching[e] = d;
d = prev[d];
e = t;
}
}
}
}
Q.pop();
}
if (matching[i] != -1) ++ans;
}
}
return ans;
}
匈牙利算法的要点例如以下
-
从左边第 1 个顶点開始,挑选未匹配点进行搜索,寻找增广路。
- 假设经过一个未匹配点,说明寻找成功。更新路径信息。匹配边数 +1,停止搜索。
- 假设一直没有找到增广路,则不再从这个点開始搜索。其实。此时搜索后会形成一棵匈牙利树。我们能够永久性地把它从图中删去,而不影响结果。
-
因为找到增广路之后须要沿着路径更新匹配,所以我们须要一个结构来记录路径上的点。DFS 版本号通过函数调用隐式地使用一个栈。而 BFS 版本号使用 prev
数组。
性能比較
两个版本号的时间复杂度均为O(V?E)。DFS
的长处是思路清晰、代码量少,可是性能不如 BFS。我測试了两种算法的性能。
对于稀疏图。BFS 版本号明显快于 DFS 版本号;而对于稠密图两者则不相上下。在全然随机数据 9000 个顶点 4,0000 条边时前者率先后者大约 97.6%,9000 个顶点 100,0000 条边时前者率先后者 8.6%, 而达到 500,0000 条边时 BFS 仅率先 0.85%。
补充定义和定理:
最大匹配数:最大匹配的匹配边的数目
最小点覆盖数:选取最少的点,使随意一条边至少有一个端点被选择
最大独立数:选取最多的点,使随意所选两点均不相连
最小路径覆盖数:对于一个 DAG(有向无环图)。选取最少条路径。使得每一个顶点属于且仅属于一条路径。路径长能够为 0(即单个点)。
定理1:最大匹配数 = 最小点覆盖数(这是 Konig 定理)
定理2:最大匹配数 = 最大独立数
定理3:最小路径覆盖数 = 顶点数 - 最大匹配数
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