关键词：
新西兰数学奥林匹克总计3道题目, 考试时间为90分钟.
证明不等式: $$prod_{i = 1}^{n}left(1 + {1 over 3i - 2} ight) > sqrt[3]{3n + 1}.$$ 解答一:
采用分析法证明之. 核心想法是先在不等式右边增加连乘符号, 然后两边同时去掉连乘, 最后使用均值不等式完成证明. $$prod_{i = 1}^{n}left(1 + {1 over 3i - 2} ight) > sqrt[3]{3n + 1}$$ $$prod_{i = 1}^{n}left(1 + {1 over 3i - 2} ight)^3 > 3n + 1$$ $$prod_{i = 1}^{n}left({3i -1 over 3i - 2} ight)^3 > 3n + 1$$ $$prod_{i = 1}^{n}{(3i -1)^3 over (3i - 2)^2} > (3n + 1)prod_{i = 1}^{n}(3i - 2)$$ $$prod_{i = 1}^{n}{(3i -1)^3 over (3i - 2)^2} > (3n + 1)cdot1cdot4cdotscdot(3n-2)$$ $$prod_{i = 1}^{n}{(3i -1)^3 over (3i - 2)^2} > prod_{i = 1}^{n + 1}(3i - 2)$$ $$prod_{i = 1}^{n}{(3i -1)^3 over (3i - 2)^2} > prod_{i = 1}^{n}(3i + 1)$$ $${(3i -1)^3 over (3i - 2)^2} > 3i + 1$$ $$(3i- 1)^3 > (3i + 1)(3i - 2)^2$$ $$3i - 1 > sqrt[3]{(3i + 1)(3i - 2)^2}$$ 最后一步成立可由 $AM-GM$ 不等式证明: $$3i - 1 = {(3i + 1) + (3i - 2) + (3i - 2) over 3} > sqrt[3]{(3i + 1)(3i - 2)^2}.$$
解答二:
采用数学归纳法证明之.
当 $n = 1$ 时, $$1 + {1over 3cdot 1 - 2} = 2 = sqrt[3]{8} > sqrt[3]{3cdot1 + 1} = sqrt[3]{4}.$$ 假设 $n = j$ 时成立, 即 $$prod_{i = 1}^{j}left(1 + {1 over 3i - 2} ight) > sqrt[3]{3j + 1}.$$ 最后证明 $n = j+1$ 时亦成立: $$prod_{i = 1}^{j+1}left(1 + {1 over 3i - 2} ight) = prod_{i = 1}^{j}left(1 + {1 over 3i - 2} ight)cdotleft(1 + {1 over 3j + 1} ight)$$ $$> sqrt[3]{3j+1}cdot{3j+2 over 3j+1}= {3j+2 over sqrt[3]{(3j+1)^2}}$$ 即需要证明 $${3j+2 over sqrt[3]{(3j+1)^2}} > sqrt[3]{3j+4}.$$ 这可由 $AM-GM$ 不等式证明之: $$3j + 2 = {(3j+1) + (3j+1) + (3j+4) over 3} > sqrt[3]{(3j+1)^2(3j+4)}.$$
Q.E.D.
数学奥林匹克问题解答：目标2017高中数学联赛基础班-2作业题解答-1
课程链接：目标2017高中数学联赛基础班-2（赵胤授课） 1、已知函数$f(x)$的定义域为$[-1,1]$,求$f(ax)+fleft(displaystyle{xovera} ight)$的定义域,其中$a>0$.解答:仿照例4解法易知其定义域为$$egin{cases}[-a,a],(0<a<1)\left[-displaystyl 查看详情
数学奥林匹克问题解答：目标2017高中数学联赛基础班-2作业题解答-3
课程链接：目标2017高中数学联赛基础班-2（赵胤授课） 1.若对任何实数$p$,抛物线$y=2x^2-px+4p+1$都过一定点,求此定点的坐标.解答:整理成关于$p$的方程:$(x-4)p=2x^2+1-y$($pinmathbf{R}$)$$Rightarrowegin{cases}x-4=0\2x^2+1-y=0end{cases}Rightarrow 查看详情
数学奥林匹克问题解答：目标2017高中数学联赛基础班-2作业题解答-2
课程链接：目标2017高中数学联赛基础班-2（赵胤授课） 1、已知$f(x)=x^5+ax^3+bx+csqrt[3]{x}+8$(其中$a,b,cinmathbf{R}$),且$f(-2)=10$.求$f(2)$的值.解答:令$g(x)=f(x)-8$,易证$g(x)$是奇函数.因此有$$g(-2)=f(-2)-8=2Rightarrowg(2)=-g(-2)=-2 查看详情
数学奥林匹克问题解答：目标2017初中数学联赛集训队作业题解答-1
课程链接：目标2017初中数学联赛集训队-1（赵胤授课） 1、直角$ riangle{ABC}$中,$AD$是斜边上的高,$I_1,I_2$是$ riangle{ABD}, riangle{ACD}$的内心,求证:$B,C,I_2,I_1$四点共圆.证明:考虑证明$$angle{BI_1I_2}+angle{BCI_2}=angle{BI_1D}+a 查看详情
数学奥林匹克问题解答：猿辅导初中数学竞赛基础特训营作业题
猿辅导(点击进入官网)初中数学竞赛基础特训营于2016年8月27-31日在网络上举行，五天课程总计上课人数超过3万人。授课内容包括四个专题：整数的基本性质、抽屉原理初步、方程与不等式及平面几何新讲初步。以下为本次特训... 查看详情
数学奥林匹克问题解答：2017高联基础班“指数与对数”作业题-2
1、化简:$${(27^{1overlog_23}+5^{log_{25}49})(81^{1overlog_49}-8^{log_49})over3+5^{1overlog_{16}25}cdot5^{log_53}}.$$解答:原式=${left(27^{log_32}+5^{log_57} ight)cdotleft(81^{log_94}-8 查看详情
初等数学问题解答-6：一道简单的三角方程
...，比较一下这两个方程。 解答：这是第1届国际数学奥林匹克（IMO）的第3题，由匈牙利供题。本题难度不大，数学程度较好的 查看详情
高中哪些竞赛书比较不错啊？？
...高中化学竞赛参考书：《化学高考到竞赛》；《高中化学奥林匹克初级本》；《新编高中化学奥林匹克竞赛指导）；《高中化学竞赛热点专题》；，最新奥林匹克竞赛试题评析·高中化学；《最新竞赛试题选编及解析高中化学卷... 查看详情
奇特的数学问题（转）
来源|世界奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛组委会 1、三门问题（蒙提霍尔问题） 假如你正在参加一个节目。主持人给了你三扇门，其中一扇门里面是一款崭新的汽车，另外两扇门里面都是一只羊。你选择了其中一... 查看详情
中学数学竞赛的经验
全国高中数学联赛中国数学奥林匹克如何评价2017年中国数学奥林匹克（33届全国中学生数学冬令营）试题？ (邓煜2017-12-06)就点评一下第三题吧，刚好最近做的东西和有理逼近有点关系所以还挺excited的……设，如果要估计的... 查看详情
2020科索沃数学奥林匹克十年级第二题
安娜烤了十五个馅饼,其中有七个卷心菜馅饼,七个肉馅饼,一个樱桃馅饼，她把馅饼按上述顺序在圆形盘子周围均匀地摆成一圈，然后将盘子放入微波炉里烘焙，她不知道盘子在微波炉里是如何旋转的，这些馅饼在外观上一模一样... 查看详情
pascal教程
...我加分！！第一章Pascal入门第一节Pascal语言的特点信息学奥林匹克竞赛是一项益智性的竞赛活动，核心是考查参赛选手的智力和使用计算机编程解题的能力。信息学奥林匹克竞赛要求参赛选手有如下能力：针对竞赛题目中的要求... 查看详情
2009年哈萨克斯坦国际数学奥林匹克第二天第六题
在17x17的方格表中，把n个小方格（1*1的正方形）染上黑色.此后每一次做以下三种操作之一:1）若某行中至少有6个小方格染上黑色，则可将该行的所有小方格染上黑色.2)若某列中至少有6个小方格染上黑色，则可将该列的所有小方... 查看详情
oi表示啥意思
...考技术A OI是OlympiadinInformatics的简称，指的是“信息学奥林匹克竞赛”，是一项在中学生中广泛开展的一门学科竞赛，和物理、数学等竞赛性质相同。 OI是信息学奥林匹克竞赛的缩写，中国队员多次在此类比赛中摘金夺银... 查看详情
有哪些中学生国际竞赛
...海外本科的高中生。大致可以分为三类：1）世界计算机奥林匹克大赛（IOI）的地区选拔赛；2）知名学校/企业组织的奖金赛；3）在线编程竞赛网站定期举行的排位赛。世界计算机奥林匹克大赛（IOI）的地区选拔赛。1、AustralianInf... 查看详情
关于信息学奥林匹克竞赛的若干问题（高中）
我高一刚结束。由于我们省区（山东）在我们这一届实行高考改革，可能要不分文理。而且复读生对应届生冲击很大。另外国家现在正在加大自主招生名额。我想参加数学竞赛和信息学竞赛。下面问几个关于信息学竞赛的问题：... 查看详情
参加全国青少年信息学奥林匹克竞赛需要具备哪些方面的知识？
参考技术A时间复杂度（渐近时间复杂度的严格定义，NP问题，时间复杂度的分析方法，主定理）排序算法（平方排序算法的应用，Shell排序，快速排序，归并排序，时间复杂度下界，三种线性时间排序，外部排序）数论（整除，... 查看详情
信息学奥林匹克问题和颜色区间？
】信息学奥林匹克问题和颜色区间？【英文标题】：InformaticsOlympiadQuestionsandColorInterval?【发布时间】：2015-03-2710:43:13【问题描述】：这是2013年本地INOI信息学奥林匹克问题。假设我们在实轴上有1393点。我们想给这个上色点使得对... 查看详情