关键词：
1、直角 $ riangle{ABC}$ 中, $AD$ 是斜边上的高, $I_1, I_2$ 是 $ riangle{ABD}, riangle{ACD}$ 的内心, 求证: $B, C, I_2, I_1$ 四点共圆.
证明:
考虑证明 $$angle{BI_1I_2} + angle{BCI_2} = angle{BI_1D} + angle{DI_1I_2} + angle{BCI_2} = 180^circ.$$ 易知 $$angle{BI_1D} = 180^circ - {1over2}(angle{ABD} + angle{ADB}) = 180^circ - {1over2}(180^circ - angle{BAD}) =90^circ + {1over2}angle{BAD}.$$ 另一方面, $$angle{BAC} = angle{I_1DI_2} = 90^circ, AB : AC = I_1D : I_2D (ecause riangle{ABD} sim riangle{CAD}).$$ 因此 $$ riangle{ABC} sim riangle{DI_1I_2}Rightarrow angle{ABC} = angle{DI_1I_2}, angle{ACB} = angle{DI_2I_1}.$$ 由此可得 $$angle{BI_1I_2} + angle{BCI_2} = angle{BI_1D} + angle{DI_1I_2} + angle{BCI_2}$$ $$= 90^circ + {1over2}angle{BAD}+ angle{ABC} + {1over2}angle{ACB}$$ $$= 90^circ + {1over2}angle{BAD}+ angle{ABC} + {1over2}angle{BAD}$$ $$= 90^circ + angle{BAD}+ angle{ABC} = 180^circ.$$
Q.E.D.
2、在凸五边形 $ABCDE$ 中, 若 $angle{ABC} = angle{ADE}$, $angle{AEC} = angle{ADB}$, 求证: $angle{BAC} = angle{DAE}$.
证明:
设 $BD, CE$ 交点为 $F$. 由 $angle{AEC} = angle{ADB}$ 知 $A, E, D, F$ 四点共圆.
再由 $angle{ABC} = angle{ADE} = angle{AFE}$ 知 $A, B, C, F$ 四点共圆.
由此可得 $angle{BAC} = angle{BFC} = angle{DFE} = angle{DAE}$.
Q.E.D.
3、在圆内引弦 $AB, AC$, $angle{BAC}$ 的平分线交圆于点 $D$. 过 $D$ 作 $DEperp AB$ 于 $E$, 求证: $AE = displaystyle{1over 2}(AB + AC)$.
证明:
考虑证明 $2AE = AB + AC$.
由角平分线性质及 $CD = BD$, 构造全等三角形, 作 $DFperp AC$ (或其延长线)于 $F$.
易证 $ riangle{DFC}cong riangle{DEB}$ 及 $ riangle{DFA}cong riangle{DEA}$, 因此 $2AE = AE + AF = AB + AC$.
需要注意的是, 本题应说明当 $B, E$ 重合时之情形. 易知此时 $AD$ 为该圆直径, 结论依然成立.
Q.E.D.
4、在三角形 $ABC$ 中, $angle{ACB} = 45^circ$, $D$ 为 $AC$ 上一点且 $angle{ADB} = 60^circ$, $AB$ 切 $ riangle{BCD}$ 外接圆于 $B$, 求证: $AD:DC = 2:1$.
证明:
由于 $AD, DC$ 在同一条直线上, 考虑平行截割定理暨造出平行关系解决之.
连接 $OB$ 造出直角, 再由 $angle{ACB} = 45^circ$ 考虑再造出一个 $90^circ$: $$angle{BOD} = 2angle{BCD} = 90^circ.$$ 由此发现 $ABparallel ODRightarrow AD:DC = BE:EC$. 接下来可以考虑证明 $BE:EC = 2:1$.
通过 $ riangle{ABC}sim riangle{ADB}$ 及简单的角度计算可知: $$angle{ABC} = angle{ADB} = 60^circRightarrow angle{OBC} = 30^circRightarrow BE = 2OE,$$ $$angle{DBC = 15^circ}Rightarrow angle{DOC} = 30^circRightarrow EC = OE.$$ 由此可知 $BE = 2CERightarrow AD = 2DC$.
Q.E.D.
5、设 $ABCD$ 是圆内接四边形, 对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于 $X$, 从 $X$ 作 $AB, BC, CD, DA$ 的垂线, 垂足分别为 $A^prime, B^prime, C^prime, D^prime$, 求证: $A^prime B^prime + C^prime D^prime = A^prime D^prime + B^prime C^prime$.
证明:
由已知的垂直关系可得 $A^prime, B, B^prime, X$ 四点共圆, 且其直径为 $BX$. 则由正弦定理有 $${BXoversin90^circ} = {A^prime B^prime over sinangle{A^prime BB^prime}}Rightarrow {A^prime B^primeover BX} = sinangle{A^prime BB^prime}.$$ 另一方面, 在 $ABCD$ 外接圆中同样有 $${ACover d} = sinangle{A^prime BB^prime},$$其中 $d$ 为 $ABCD$ 外接圆之直径. 由此可知 $$A^prime B^prime = {BXcdot ACover d}.$$ 同理可得 $$C^prime D^prime = {DXcdot ACover d}.$$ 因此, $$A^prime B^prime + C^prime D^prime = BDcdot{ AC over d}.$$ 同理可得 $$B^prime C^prime + A^prime D^prime = ACcdot{ BD over d}.$$ 即 $A^prime B^prime + C^prime D^prime = A^prime D^prime + B^prime C^prime$.
Q.E.D.
6、四边形 $ABCD$ 内接于圆, 另一圆的圆心 $O$ 在边 $AB$ 上, 且与其余三边相切, 求证: $AD + BC = AB$.
证明:
由证明结论考虑将 $AD, BC$ 平移到 $AB$上, 暨在 $AB$ 上截取 $BE = BC$, 证明目标为 $AE = AD$.
由 $A, B, C, D$ 四点共圆及切线性质可知 $$angle{BEC} = angle{BCE} = {1over2}(180^circ - angle{EBC}) = {1over2}angle{ADC} = angle{ODC},$$ 因此 $O, E, C, D$ 四点共圆. 由此可得 $$angle{AED} = angle{OCD} = {1over 2}angle{BCD} = {1over2}(180^circ - angle{A}),$$即证明$AE = AD$.
Q.E.D.
7、两圆彼此外切于 $D$, 一直线切一圆于 $A$, 交另一圆于 $B, C$ 两点, 求证: $A$ 到直线 $BD, CD$ 之距离相等.
证明:
点到两直线(线段)距离相等, 可联想到角平分线之性质. 延长 $CD$ 交圆于 $E$, 考虑证明 $AD$ 是 $angle{BDE}$ 之角平分线.
过点 $D$ 作两圆之公切线交 $AC$ 于 $F$, 可知 $$angle{ADB} = angle{ADF} + angle{BDF} = angle{DAF} +angle{DCF} = angle{ADE}.$$ 即证明 $AD$ 是 $angle{BDE}$ 之角平分线.
Q.E.D.
扫描关注“奥数学苑”微信公众号(ID: aoshu_xueyuan)
腾讯课堂目标2017初中数学联赛集训队作业题解答-9
课程链接：目标2017初中数学联赛集训队-1（赵胤授课） 1.已知$a$,$b$,$c$为整数,且$a+b=2006$,$c-a=2005$.若$a<b$,则$a+b+c$之最大值是多少?解答:$ecausea,binmathbf{Z}$,$a+b=2006$,$ hereforeale1002$,因此由$$egin{cases}a+b=20 查看详情
腾讯课堂目标2017初中数学联赛集训队作业题解答-8
课程链接：目标2017初中数学联赛集训队-1（赵胤授课） 1.若$x$,$y$是非零实数,使得$|x|+y=3$和$|x|y+x^3=0$,则$x+y=?$解答:考虑去绝对值符号.$$|x|y+x^3=0Rightarrowy=-|x|x$$若$xge0$,则$y=-x^2$,代入得$$x-x^2=3Rightarrowx^2-x+3=0RightarrowDelt 查看详情
腾讯课堂目标2017初中数学联赛集训队作业题解答-10
课程链接：目标2017初中数学联赛集训队-1（赵胤授课） 1.已知二次函数$y=3ax^2+2bx-(a+b)$,当$x=0$和$x=1$时,$y$的值均为正数,则当$0<x<1$时,抛物线与$x$轴的交点个数是多少?解答:令$f(x)=3ax^2+2bx-(a+b)$,$$Rightarrowegin{cases}f(0)=-(a+b)... 查看详情
数学奥林匹克问题解答：目标2017高中数学联赛基础班-2作业题解答-1
课程链接：目标2017高中数学联赛基础班-2（赵胤授课） 1、已知函数$f(x)$的定义域为$[-1,1]$,求$f(ax)+fleft(displaystyle{xovera} ight)$的定义域,其中$a>0$.解答:仿照例4解法易知其定义域为$$egin{cases}[-a,a],(0<a<1)\left[-displaystyl 查看详情
数学奥林匹克问题解答：目标2017高中数学联赛基础班-2作业题解答-3
课程链接：目标2017高中数学联赛基础班-2（赵胤授课） 1.若对任何实数$p$,抛物线$y=2x^2-px+4p+1$都过一定点,求此定点的坐标.解答:整理成关于$p$的方程:$(x-4)p=2x^2+1-y$($pinmathbf{R}$)$$Rightarrowegin{cases}x-4=0\2x^2+1-y=0end{cases}Rightarrow 查看详情
数学奥林匹克问题解答：目标2017高中数学联赛基础班-2作业题解答-2
课程链接：目标2017高中数学联赛基础班-2（赵胤授课） 1、已知$f(x)=x^5+ax^3+bx+csqrt[3]{x}+8$(其中$a,b,cinmathbf{R}$),且$f(-2)=10$.求$f(2)$的值.解答:令$g(x)=f(x)-8$,易证$g(x)$是奇函数.因此有$$g(-2)=f(-2)-8=2Rightarrowg(2)=-g(-2)=-2 查看详情
数学奥林匹克问题解答：猿辅导初中数学竞赛基础特训营作业题
猿辅导(点击进入官网)初中数学竞赛基础特训营于2016年8月27-31日在网络上举行，五天课程总计上课人数超过3万人。授课内容包括四个专题：整数的基本性质、抽屉原理初步、方程与不等式及平面几何新讲初步。以下为本次特训... 查看详情
腾讯课堂目标2017高中数学联赛基础班-2作业题解答-7
课程链接：目标2017高中数学联赛基础班-2（赵胤授课） 1.解函数方程:$$f(x)+fleft({1overx} ight)lgx=b^2,$$其中$xinmathbf{R^+}$,$b>0$,$b e1$.解答:$$egin{cases}f(x)+fleft({1overx} ight)lgx=b^2\f({1overx} 查看详情
腾讯课堂目标2017高中数学联赛基础班-2作业题解答-6
课程链接：目标2017高中数学联赛基础班-2（赵胤授课） 1.设$f(x)=sqrt{x^2+c}$.求$f(x)$之$n$次迭代.解答:直接求迭代函数:$$f^{(2)}(x)=sqrt{left(sqrt{x^2+c} ight)^2+c}=sqrt{x^2+2c},$$$$f^{(3)}(x)=sqrt{left(sqrt{x^2+2c} ight) 查看详情
腾讯课堂目标2017高中数学联赛基础班-2作业题解答-8
课程链接：目标2017高中数学联赛基础班-2（赵胤授课） 1.当$x$为何值时,$x+5$,$x+2$,$x-1$,$x-4$的积不大于$-80$?解答:$$(x+5)(x+2)(x-1)(x-4)le-80Rightarrow(x^2+x-20)(x^2+x-2)+80le0$$$$Rightarrow(x^2+x)^2-22(x^2+x)+120le0Righ 查看详情
腾讯课堂目标2017高中数学联赛基础班-2作业题解答-9
课程链接：目标2017高中数学联赛基础班-2（赵胤授课） 1.已知$a_1,a_2,cdots,a_ninmathbf{R^+}$,满足$a_1a_2cdotsa_n=1$.求证:$$(2+a_1)(2+a_2)cdots(2+a_n)ge3^n.$$解答:$$2+a_i=1+1+a_ige3sqrt[3]{a_i}Rightarrowsum_{i=1}^ 查看详情
腾讯课堂目标2017高中数学联赛基础班-2作业题解答-11
课程链接：目标2017高中数学联赛基础班-2（赵胤授课） 1.$x,y,zinmathbf{R^+}$,证明:$$frac{z^2-x^2}{x+y}+frac{x^2-y^2}{y+z}+frac{y^2-z^2}{z+x}ge0.$$解答:$$frac{z^2-x^2}{x+y}+frac{x^2-y^2}{y+z}+frac{y^2-z^2}{z+x} 查看详情
中学数学竞赛的经验
全国高中数学联赛中国数学奥林匹克如何评价2017年中国数学奥林匹克（33届全国中学生数学冬令营）试题？ (邓煜2017-12-06)就点评一下第三题吧，刚好最近做的东西和有理逼近有点关系所以还挺excited的……设，如果要估计的... 查看详情
腾讯课堂目标2017高中数学联赛基础班-2作业题解答-12
1.设$x_i$($i=1$,$2$,$cdots$,$n$)均为非负实数,且$sumx_i<dfrac{1}{2}$,证明:$$prod_{i=1}^{n}(1-x_i)>frac{1}{2}.$$解答:$$prod_{i=1}^{n}(1-x_i)ge(1-x_1-x_2)(1-x_3)(1-x_4)cdots(1-x_n)$$$$geleft[1- 查看详情
关于举办第22届全国青少年信息学奥林匹克联赛浙江赛区颁奖大会暨省队集训选拔的通知
...局，各有关学校： 第22届全国青少年信息学奥林匹克联赛（NOIP2016）成绩已公布，浙江赛区颁奖大会暨集训队首轮培训、选拔将由温州中学和省青少年科技教育协会承办。 我省将根据中国计算机学会《CC... 查看详情
数学奥林匹克问题解答：2017高联基础班“指数与对数”作业题-2
1、化简:$${(27^{1overlog_23}+5^{log_{25}49})(81^{1overlog_49}-8^{log_49})over3+5^{1overlog_{16}25}cdot5^{log_53}}.$$解答:原式=${left(27^{log_32}+5^{log_57} ight)cdotleft(81^{log_94}-8 查看详情
数学奥林匹克问题解答:新西兰数学奥林匹克第二题解答
新西兰数学奥林匹克总计3道题目,考试时间为90分钟. 设$$a,,c,{aoverb}+{boverc}+{covera},{aoverc}+{coverb}+{bovera}$$均为正整数.证明:$a=b=c$.解答:易知若$(a.b,c) e1$,则可对${aoverb}+{boverc}+{covera}$及${aoverc}+{cov 查看详情
数学奥林匹克问题解答:新西兰数学奥林匹克第一题解答
新西兰数学奥林匹克总计3道题目,考试时间为90分钟. 证明不等式:$$prod_{i=1}^{n}left(1+{1over3i-2} ight)>sqrt[3]{3n+1}.$$解答一:采用分析法证明之.核心想法是先在不等式右边增加连乘符号,然后两边同时去掉连乘,最后使用均值不等式... 查看详情