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【机器学习】《机器学习实战》读书笔记及代码 总目录
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目录
本章内容
- Sigmoid函数和Logistic回归分类器
- 最优化理论初步
- 梯度下降最优化算法
- 数据中的缺失项处理
这会是激动人心的一章,因为会首次接触到 最优化算法。仔细想想就会发现,其实日常生活中遇到过很多最优化问题,比如如何在最短时间内从A点到达B点?如何投入最少工作量却获得最大的效益?如何设计发动机使得油耗最少而功率最大?可见,最优化的作用十分强大。接下来会介绍几个最优化算法,并利用它们训练出一个非线性函数用于分类。
1、Logistic 回归
假设现在有一些数据点,用一条直线对这些点进行拟合(该线称为 最佳拟合直线),这个拟合过程就称作 回归。
利用 Logistic回归 进行分类的主要思想是:根据现有数据对分类边界线建立回归公式,以此进行分类。这里的“回归”一词源于最佳拟合,表示要找到 最佳拟合参数集,其背后的数学分析将在下一部分介绍。训练分类器时的做法就是寻找最佳拟合参数,使用的是最优化算法。
Logistic回归的一般过程
(1) 收集数据:采用任意方法收集数据。
(2) 准备数据:由于需要进行距离计算,因此要求数据类型为数值型。另外,结构化数据格式则最佳。
(3) 分析数据:采用任意方法对数据进行分析。
(4) 训练算法:大部分时间将用于训练,训练的目的是为了找到最佳的分类回归系数。
(5) 测试算法:一旦训练步骤完成,分类将会很快。
(6) 使用算法:首先,我们需要输入一些数据,并将其转换成对应的结构化数值;接着,基于训练好的回归系数就可以对这些数值进行简单的回归计算,判定它们属于哪个类别;在这之后,我们就可以在输出的类别上做一些其他分析工作。
Logistic回归的因变量可以是二分类的,也可以是多分类的,但是实际中最为常用的就是二分类的Logistic回归。它利用的是Sigmoid函数阈值在[0,1]这个特性。Logistic回归进行分类的主要思想是:根据现有数据对分类边界线建立回归公式,以此进行分类。其实,Logistic本质上是一个基于条件概率的判别模型(Discriminative Model)。
Logistic回归
优点:计算代价不高,易于理解和实现。
缺点:容易欠拟合,分类精度可能不高。
适用数据类型:数值型和标称型数据。
2、基于Logistic 回归和Sigmoid 函数的分类
为什么利用的是Sigmoid函数呢?
首先我们想要的函数应该是,能接受所有的输入然后预测出类别。例如,在两个类的情况下,上述函数输出0或1。或许你之前接触过具有这种性质的函数,该函数称为 海维塞德阶跃函数(Heaviside step function),或者直接称为 单位阶跃函数。然而,海维塞德阶跃函数的问题在于:该函数在跳跃点上从0瞬间跳跃到1,这个瞬间跳跃过程有时很难处理。
幸好,另一个函数也有类似的性质(可以输出0或者1),且数学上更易处理,这就是Sigmoid函数。Sigmoid函数具体的计算公式如下:
如图中上图给出了Sigmoid函数在不同坐标尺度下的两条曲线图。当x为0时,Sigmoid函数值为0.5。随着x的增大,对应的Sigmoid值将逼近于1;而随着x的减小,Sigmoid值将逼近于0。如果横坐标刻度足够大(图中下图),Sigmoid函数看起来很像一个阶跃函数。
因此,为了实现Logistic回归分类器,我们可以在每个特征上都乘以一个回归系数,然后把所有的结果值相加,将这个总和代入Sigmoid函数中,进而得到一个范围在0~1之间的数值。任何大于0.5的数据被分入1类,小于0.5即被归入0类。所以,Logistic回归也可以被看成是一种概率估计。确定了分类器的函数形式之后,那么现在的问题变成了:最佳回归系数是多少? 如何确定它们的大小?
3、梯度上升算法
Sigmoid函数的输入记为z,由下面公式得出:
如果采用向量的写法,上述公式可以写成
z
=
w
T
x
z = w^Tx
z=wTx,它表示将这两个数值向量对应元素相乘然后全部加起来即得到z值。其中的向量x是分类器的输入数据,向量w也就是我们要找到的最佳参数(系数),从而使得分类器尽可能地精确。为了寻找该最佳参数,需要用到最优化理论的一些知识。本文使用梯度上升算法进行求解。
那么什么是梯度上升算法?梯度上升法基于的思想是:要找到某函数的最大值,最好的方法是沿着该函数的梯度方向探寻。如果梯度记为∇,则函数f(x,y)的梯度由下式表示:
这是机器学习中最易造成混淆的一个地方,但在数学上并不难,需要做的只是牢记这些符号的意义。这个梯度意味着要沿x的方向移动,沿y的方向移动。其中,函数f (x,y)必须要在待计算的点上有定义并且可微。一个具体的函数例子见下图:
上图中的梯度上升算法沿梯度方向移动了一步。可以看到,梯度算子总是指向函数值增长最快的方向。这里所说的是移动方向,而未提到移动量的大小。该量值称为步长,记做α。用向量来表示的话,梯度上升算法的迭代公式如下:
该公式将一直被迭代执行,直至达到某个停止条件为止,比如迭代次数达到某个指定值或算法达到某个可以允许的误差范围。
梯度下降算法
你最经常听到的应该是梯度下降算法,它与这里的梯度上升算法是一样的,只是公式中的加法需要变成减法。因此,对应的公式可以写成
梯度上升算法用来求函数的最大值,而梯度下降算法用来求函数的最小值。
4、基于最优化方法的最佳回归系数确定
1)查看数据的分布情况
这是一个简单的没什么实际含义的数据集,先看一些具体的数据是怎么样的:
这个数据有两维特征,因此可以在一个二维平面上展示。首先将第一列数据(X1)看作x轴上的值,然后第二列数据(X2)看作y轴上的值,最后把最后一列数据即为分类标签。根据标签的不同,对这些点进行分类。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
"""
Parameters:
无
Returns:
dataMat - 数据列表
labelMat - 标签列表
"""
# 函数说明:加载数据
def loadDataSet():
dataMat = [] #创建数据列表
labelMat = [] #创建标签列表
fr = open('testSet.txt') #打开文件
for line in fr.readlines(): #逐行读取
lineArr = line.strip().split() #去回车,放入列表
dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])]) #添加数据
labelMat.append(int(lineArr[2])) #添加标签
fr.close() #关闭文件
return dataMat, labelMat #返回
# 函数说明:绘制数据集
def plotDataSet():
dataMat, labelMat = loadDataSet() #加载数据集
dataArr = np.array(dataMat) #转换成numpy的array数组
n = np.shape(dataMat)[0] #数据个数
xcord1 = []; ycord1 = [] #正样本
xcord2 = []; ycord2 = [] #负样本
for i in range(n): #根据数据集标签进行分类
if int(labelMat[i]) == 1:
xcord1.append(dataArr[i,1]); ycord1.append(dataArr[i,2]) #1为正样本
else:
xcord2.append(dataArr[i,1]); ycord2.append(dataArr[i,2]) #0为负样本
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111) #添加subplot
ax.scatter(xcord1, ycord1, s = 20, c = 'red', marker = 's',alpha=.5)#绘制正样本
ax.scatter(xcord2, ycord2, s = 20, c = 'green',alpha=.5) #绘制负样本
plt.title('DataSet') #绘制title
plt.xlabel('x'); plt.ylabel('y') #绘制label
plt.show() #显示
if __name__ == '__main__':
plotDataSet()
从上图可以看出我们采用的数据的分布情况。
2)训练算法:使用梯度上升找到最佳参数
数据中有100个样本点,每个点包含两个数值型特征:X1和X2。在此数据集上,通过使用梯度上升法找到最佳回归系数,也就是拟合出Logistic回归模型的最佳参数。
梯度上升法的伪代码如下:
每个回归系数初始化为1
重复R次:
计算整个数据集的梯度
使用alpha × gradient更新回归系数的向量
返回回归系数
具体实现代码如下:
import numpy as np
'''
Parameters:
无
Returns:
dataMat - 数据列表
labelMat - 标签列表
'''
# 函数说明:加载数据
def loadDataSet():
dataMat = [] #创建数据列表
labelMat = [] #创建标签列表
fr = open('testSet.txt') #打开文件
for line in fr.readlines(): #逐行读取
lineArr = line.strip().split() #去回车,放入列表
dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])]) #添加数据
labelMat.append(int(lineArr[2])) #添加标签
fr.close() #关闭文件
return dataMat, labelMat #返回
'''
Parameters:
inX - 数据
Returns:
sigmoid函数
'''
# 函数说明:sigmoid函数
def sigmoid(inX):
return 1.0 / (1 + np.exp(-inX))
'''
Parameters:
dataMatIn - 数据集
classLabels - 数据标签
Returns:
'''
# 函数说明:梯度上升算法
def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
dataMatrix = np.mat(dataMatIn) #转换成numpy的mat
labelMat = np.mat(classLabels).transpose() #转换成numpy的mat,并进行转置
m, n = np.shape(dataMatrix) #返回dataMatrix的大小。m为行数,n为列数。
alpha = 0.001 #移动步长,也就是学习速率,控制更新的幅度。
maxCycles = 500 #最大迭代次数
weights = np.ones((n,1))
for k in range(maxCycles):
h = sigmoid(dataMatrix * weights) #梯度上升矢量化公式
error = labelMat - h
weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose() * error
return weights.getA() #将矩阵转换为数组,返回权重数组
if __name__ == '__main__':
dataMat, labelMat = loadDataSet()
print(gradAscent(dataMat, labelMat))
假设Sigmoid函数的输入记为
z
z
z,那么
z
=
w
0
x
0
+
w
1
x
1
+
w
2
x
2
z=w_0x_0 + w_1x_1 + w_2x_2
z=w0x0+w1x1+w2x2,即可将数据分割开。其中,
x
0
x_0
x0 为全是1的向量,
x
1
x_1
x1 为数据集的第一列数据,
x
2
x_2
x2 为数据集的第二列数据。另
z
=
0
z=0
z=0,则
0
=
w
0
+
w
1
x
1
+
w
2
x
2
0=w_0 + w_1x_1 + w_2x_2
0=w0+w1x1+w2x2。横坐标为
x
1
x_1
x1,纵坐标为
x
2
x_2
x2。这个方程未知的参数为
w
0
,
w
1
,
w
2
w_0,w_1,w_2
w0,w1,w2,也就是我们需要求的回归系数(最优参数)。已经求解出的就是回归系数
[
w
0
,
w
1
,
w
2
]
[w_0,w_1,w_2]
[w0,w1,w2],通过系数就可以确定不同类别数据之间的分割线,画出决策边界。
3)分析数据:画出决策边界
已经解出了一组回归系数。现在开始绘制这个分隔线:
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
'''
Parameters:
无
Returns:
dataMat - 数据列表
labelMat - 标签列表
'''
# 函数说明:加载数据
def loadDataSet():
dataMat = [] #创建数据列表
labelMat = [] #创建标签列表
fr = open('testSet.txt') #打开文件
for line in fr.readlines(): #逐行读取
lineArr = line.strip().split() #去回车,放入列表
dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])]) #添加数据
labelMat.append(int(lineArr[2])) #添加标签
fr.close() #关闭文件
return dataMat, labelMat #返回
'''
Parameters:
inX - 数据
Returns:
sigmoid函数
'''
# 函数说明:sigmoid函数
def sigmoid(inX):
return 1.0 / (1 + np.exp(-inX))
'''
Parameters:
dataMatIn - 数据集
classLabels - 数据标签
Returns:
weights.getA() - 求得的权重数组(最优参数)
'''
# 函数说明:梯度上升算法
def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
dataMatrix = np.mat(dataMatIn) #转换成numpy的mat
labelMat = np.mat(classLabels).transpose() #转换成numpy的mat,并进行转置
m, n = np.shape(dataMatrix) #返回dataMatrix的大小。m为行数,n为列数。
alpha = 0.001 #移动步长,也就是学习速率,控制更新的幅度。
maxCycles = 500 #最大迭代次数
weights = np.ones((n,1))
for k in range(maxCycles):
h = sigmoid(dataMatrix * weights) #梯度上升矢量化公式
error = labelMat - h
weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose() * error
return weights.getA() #将矩阵转换为数组,返回权重数组
'''
Parameters:
weights - 权重参数数组
Returns:
无
'''
# 函数说明:绘制数据集
def plotBestFit(weights):
dataMat, labelMat = loadDataSet() #加载数据集
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