- 多元函数求偏导数时注意区分那些是自变量，那些是函数，以及函数的自变量是什么。自变量之间的偏导都是零，而针对函数的偏导则不一定是零。
例：在计算阿尔芬波色散关系的时候有这样的式子：
\[\fracddx[(\omega^2-\omega_A^2(x))\fracdU(x)dx]\]
上式中\(\fracddx\)作用到\(\omega^2\)上就是0，但是作用到\(\omega_A^2(x)\)则非零，因为\(x,\omega\)都是自变量，而\(\omega_A^2\)则是函数。 - 多元傅立叶变换中的等价性：
对于\(U(\vecr,t)\to U(x)e^i(k_y y+k_z z-\omega t)\)，这时如果有梯度算符\(\nabla\)作用到U上，则梯度算符\(\nabla\)与波数\(\veck=k_y\vece_y+k_z\vece_z\)并不等价。而是有等价关系：
\[\nabla\Leftrightarrow (\vece_x\fracddx+i\veck)\] - 平衡量的微分
物理中的平衡量一般而言都是针对时间的平衡量\(A_0=A_0(\vecr)\)，所以对空间变量的微分未必是零。
\(\frac\partial A\partial t=0,\ \frac\partial A\partial x\neq 0\) - 微分算符的可交换性
在物理问题中常常出现连续作用的微分算符，有些微分算符还是一些比较复杂的运算。一般而言，只要是相互独立的微分算符都是可以交换顺序的。因为实际物理问题中的多元函数一般都是可微的，并没有数学中要求的那么严格。
例如：\(\textitD=(\frac\partial^2\partial t^2-\frac1\rho_0\mu_0(\vecB_0\cdot\nabla)^2)\)，这个算符同时也是x的函数而与y,z无关。所以\(\textitD\)不可以与\(\frac\partial\partial x\)交换顺序，但是可以与\(\frac\partial\partial y\)或\(\frac\partial\partial z\)交换顺序。即：\(\frac\partial\partial x(\textitDf) \neq \textitD\frac\partial f\partial x\)，但是可以有\(\frac\partial\partial y(\textitDf)=\textitD\frac\partial f\partial y\). - 极限运算与微积分运算的可交换性
极限运算和微分运算，极限运算和积分运算都是可以交换先后顺序的，因为无论积分运算或者是微分运算，都是利用极限运算来定义的。 - 对时间的全导数和偏导数是不等价的
假设有一个时变的标量场\(Q=Q(\vecr,t)\)则有如下关系：
\(\fracdQdt=\frac\partial Q\partial t+\vecv\cdot\nabla Q\neq \frac\partial Q\partial t\) - 物理规律的适用条件
从哲学的角度来讲，人类目前领悟的物理定律都源于对自然现象的总结归纳，都还只是对宇宙中绝对真理(自然规律)的近似，所以和真正的自然现象还会存在一定的误差。就连我们已经掌握的物理定律在不同条件下都有不同的近似。
例：牛顿第二定律，
\[ \beginequation \vecF=\fracddt(m\vecv)= \left\ \beginarrayl m\fracd\vecvdt & (low\ speed)\\fracdmdt\vecv+m\fracd\vecvdt & (high\ speed\ v \approx c) \endarray \right. \endequation \]
例：流体连续方程，
\[ \beginequation \frac\partial \rho\partial t+\nabla\cdot(\rho \vecv)=0\Leftrightarrow \beginarrayl \frac\partial \rho\partial t+\rho \nabla\cdot\vecv=0 & (non-compressible\ fluid)\\frac\partial \rho\partial t+\nabla\rho\cdot\vecv+\rho \nabla\cdot\vecv=0 & (compressible\ fluid) \endarray \endequation \]
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