机器学习基石线性回归(代码片段)

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写在前面

本节主要介绍了线性回归原理以及它的可行性，最后与前面学过的线性分类进行了对比分析。

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1. 线性回归问题

$\bullet$ 引入：我们假设现在有些用户已经申请到了信用卡，但是银行决定给他们发放多少钱。此时返回的结果就是一个实数区间。

$\bullet$ 实现：

$▹$ 现在我们有用户的信息，包括以下内容：年龄、年收入、工作年龄、当前负债。

$▹$ 我们还是像（二）中感知机模型提到的一样，为每一个维度分配一个权重，然后求得总和，最后在减去一个偏差（阈值）。为了优化，把这个偏差放到了第0维度。（具体实现看机器学习基石二中第一块内容）

所以当有d个维度时，自变量 $x=(x_0,x_1,...x_d)$，返回值 $$y\approx \sum _{i=0}^d{w}_i{x}_i$$
线性回归假设：$h(x)=w^{T}x$

（它很像感知机模型，但是感知机模型最终求的是符号）

$▹$ 当 $x$ 只有一个维度或者两个维度时，做出来的直线如下：

对于一维、二维的 $x$ 来说，线性回归最终要找到的就是误差最小的直线以及平面。每个点到直线或者平面的竖直距离就是该点的误差。

$▹$ 计算误差的方法：最小二乘法。我们求解误差的平方和对应的权重，对于单点来说就是：
$$err(\hat{y},y)=(\hat{y}-y{)}^2$$
对于样本数据来说，计算方法为（选择对应误差最小的一组权重值）：
$$E_{in}(w)=\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N(w^T{x}_n-y_n{)}^2$$
对于整体数据来说，计算方法为（整体数据对应的误差结果）：
$$E_{out}(w)=\underset{(x,y)\sim P}{\epsilon }(w^{T}x-y{)}^2$$

我们接下来需要实现的就是如何找到较小的 $E_{in}(w)$。

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2. 求解最小的 $E_{in}(w)$ 对应的 $w$

$\bullet$上面我们已经得到了 $E_{in}(w)$ 的计算方法，接着我们对其进行转换：
$$\begin{array}{ccc}{E}_{in}(w)& =& \frac{1}{N}{\sum }_{n=1}^N(w^T{x}_n-y_n{)}^2=\\ & =& \frac{1}{N}\Vert \begin{array}{c}{x}_1^{T}w-y_1\\ x_2^{T}w-y_2\\ ...\\ x_{查看详情}\end{array}\\ & =& \\ & =& \end{array}$$

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