高等数学总结

原创不易，希望能得到一个赞，感谢各位！

1、函数

考点一：求函数的定义域

求具体函数的定义域

（1）原则

（2）做题方法

求抽象函数的定义域

（1）方法：由a≤φ(x)≤b 解出 x 的范围

（2）方法：求出φ(x) 在[a,b]上的值域.特别地，若φ(x)单调，则所求定义域为[φ(a),φ(b)]或[φ(b),φ[a]]

（3）已知f[φ(x)]的定义域为[a,b]，求f[φ(x)]的定义域

笔记

1. 分数的分母 ≠ 0
2. 根号里面的数 ≥ 0
3. ln、lg、log都是对数
4. ln以1为底、lg以10为底
5. 解不等式组（复合函数，取交集）
6. 1-x 分之 1+x >0 和 (1+x)(1-x)>0 是同解，得出(1+x)(x-1)<0，最后得出：-1<x<1
7. sinx ≠ 0 → x ≠ kπ，因为 sinx 是一个周期函数 ，函数图像为：当x=0、x=π、x=2π、x=3π 时，sinx
   都等于0，所以sin ≠ kπ
8. 注意：定义域指的是自变量 x 的范围。

考点二：求函数的值域

笔记

1. 值域指的是因变量 y 的范围

考点三：相同函数的判断

定理

笔记

1. 根号里面开偶次方根，必须加绝对值，举个例子：f(根号x的平方)=绝对值x
2. 绝对值函数 实际上就是 分段函数
3. 当 x≥n时，要去掉绝对值，需每个数字都要变符号
4. 当 x<n时，要去掉绝对值，则可直接去掉

考点四：求函数表达式

方法一：直接带入

方法二：做恒等变形

方法三：换元法

笔记

1. 碰到f[f(x)]时，先将f(x)写出来，再将f(x)的每一个值替换x即可
2. 奇变偶不变，符号看象限
3. 如果换元法做不出就要用恒扥变形，反之同理。

考点五：函数的四种性质

单调性

（1）定义

（2）判断：利用倒数符号

奇偶性

（1）定义

（2）常见

（3）运算性质

有界性

（1）定义

（2）常见

周期性

（1）定义

（2）常见的周期函数

考点六：求反函数

定义

求反函数步骤

考点七：基本初等函数

幂函数

指数函数

对数函数

（1）概念

（2）运算公式

（3）指数与对数的恒等变形

三角函数

反三角函数

2、极限

考点一：数列极限的定义

定义

笔记

1. 当n→∞时，n分之1 = 0
2. 当n→∞时，q的n次方（|q|<1）=0

考点二：函数极限的定义

定义一

定义二

笔记

1. x→∞，要想极限存在，要求x→+∞ 与 x→-∞ 的时候极限相等，若不相等，则极限不存在。
2. 当x→x0时，极限存在充要条件：x→x0+ 与 x→x0- 相等且存在
3. 极限存在，也要求左右极限都存在且相等。
4. 当x→0，则 x分之1→ ∞
5. 0分之1 → ∞
6. 一个数的负N次方等于这个数的N次方的倒数

考点三：极限的四则运算法则

法则

笔记

1. √1开n次方 = 1的n分之1次方，例如：√4开平方 = 4的分之一次方 = 2

2. n^0 = 1，例如：2012^0 = 1

3. 等比数列前n相和公式
   
   公式描述：公式中a1为数列首项，q为等比数列的公比，Sn为前n项和。

4. 当分母极限 ≠ 0 成立时，才可以用四则运算法则

5. 完全平方公式
   

6. 平方差公式
   
   公式描述：公式表示两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

7. 化简特殊法则，根据分子与分母的最高次幂来相除可化简分式

8. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加

9. lnM^n = nlnM

10. lne = 1

11. 等差数列通项公式
    
    公式描述：其中等差数列的首项为a1，末项为an，项数为n，公差为d，前n项和为Sn

12. 等差数列求和公式
    
    公式描述：其中等差数列的首项为a1，末项为an，项数为n，公差为d，前n项和为Sn。

13. 有理化就是分子分母通分

14. 将一个数带到根号里化简需要平方再处，例如：n带入根号2n里化简，就是2n×n^2

考点四：抓大头

定义

考点五：夹逼定理

定义

笔记
用夹逼定理需要找出它 ≥ 谁 和 ≤ 谁，遵循：
≤时，分子不变，分母放大
≥时，分子不变，分母缩小

考点六：无穷小与无穷大

无穷小

无穷小的性质

无穷大

无穷小与无穷大的关系

考点七：无穷小的比较

定义

常见的等价无穷小

等价无穷小代换

笔记

1. ln(1+x^2) 等价 x^2，例如：ln(1+x分之1) 等价 x分之1
2. 如果乘除某一个因子，它的极限是一个非0常数，我们可以考虑先把它算出来
3. 立方差公式
   

考点八：两个重要极限

重要极限一

重要极限二

笔记
e^2a=e，得出2a=1，因为1的任何次方都等于它本身，所以推出e=1，然后待续…（还未推完）

3、连续

考点一：函数的连续性

定理

类型一：判断连续性

类型二：已知连续，反求未知参数

笔记

1. 连续就是极限值等于该点函数值，我们就可以认为它是连续的
2. 连续成立的三个条件：
   (1)f(x)在x0的某领域内有定义；
   (2)x->x0,limf(x)存在；（极限连续）
   (3)x->x0,limf(x)=f(x0)（极限相等）

考点二：函数的间断点

定义

分类

（1）第一间断点

可去间断点

跳跃间断点

（2）第二间断点

无穷间断点

振荡间断点

笔记

1. x’ = 1（解析）

2. sinx/x = 1（解析）

3. 若分母为0则极限无定义

4. x→2分之π，若tanx为分母，则tanx = ∞

5. x→∞，x=0（解析）

6. 间断点的判断标准
   无定义的点一定是间断点
   分段函数的分段点可能是间断点

7. 1/∞=0（解析）

8. 1/0=∞（解析）

9. 若 tanx=0，则 x=kπ

10. 求间断点类型，实际上就是求极限的值

11. 洛必达法则（解析）

12. ∞/n 或者 n/∞，结果都为：∞

考点三：利用零点定理证明根的存在性

零点定理

解题步骤

笔记

1. ‘∃’这个符号指的是：存在
2. 碰到具体函数，写显然连续
3. 碰到抽象函数，写因为连续，所以连续
4. 如果 ξ ∈ (0,1)直接解即可，但 ξ ∈ [0,1) 或者 ξ ∈(0,1] 再或者 [0,1]这种情况就要分开讨论了，题型难度也会提升很多

4、导数与微分

考点一：导数的定义

函数在一点处的导数

例题

单侧导数

（1）左导数

（2）右导数

充要条件

例题

笔记

1. 判断函数在某一点处可导性的方法： 极限存在，说明函数可导
2. 判断函数连续吗？可导吗？方法有两种： 方法一：求极限、求导 方法二：画图像（图像有尖点的函数都是不可导的）
3. 把lim式子里所有的f去掉，算出来是几，就等于几倍的导

考点二：可导与连续的关系

知识点

例题

答案：C. 充分必要条件

笔记

1. 可导一定连续，连续不一定可导
2. 若A能推出B，A是B的充分条件，B是A的必要条件
3. 连续是可导的必要条件
4. 若原命题正确，则它的逆否命题也是正确的，例如： 可导 推出 连续 不连续 也能推出 不可导

考点三：导数的几何意义

知识点

切线方程、法线方程

例题

笔记

1. 某一点处的导表示在该点处的切线斜率
2. 直线方程：y-y0=k(x-x0)。其中，点表示 （x0,y0），k表示 斜率
3. 切线也是直线
4. 若切线和法线是相互垂直的，斜率相乘 = -1（k1 × k2=-1）
5. 若两条直线平行，斜率相等

考点四：导数的基本公式及四则运算法则

基本初等函数的导数公式

求导法则

笔记

1. 基本初等函数的导数公式：死记硬背
2. 求导法则：死记硬背

考点五：求复合函数的导数

定理

例题

考点六：求隐函数的导数

定义

方法

例题

笔记

1. 隐函数是相对于显函数来说的
2. y=x+1 是一个显函数
3. 解式子的时候，要把y’放在等式的一边，不含y’的放在等式的另一边
4. 如果解隐函数式子到最后的时候与其他选项不一样（选择题），就要用原方程化简

考点七：求幂指函数的导数

幂指函数

求导方法

例题

笔记

1. 两种解法：
   方法一：对数求导法（先两边同时取对数，取完对数后在两边对x进行求导，解出y’）
   方法二: 恒等变形（u^v = e^vlnu）

考点八：求由参数方程所确定的函数的导数

参数方程

求导方法

例题

笔记

1. 参数方程求导就是分子分母同时除以dt
2. 二阶导实际上就是对一阶导函数再对x求导
3. dy/dt是y对t求导，dx/dt是x对t求导
4. 求具体点处的导，先求函数导，再把具体的点往里面带
5. cosx^2-sinx2 = 1
6. 想求二阶导，得先求一阶导

考点九：高阶导数

定义

例题

求n阶导的一般方法

例题

常见函数的高阶导数

例题

笔记

1. (1/v)’ = -(v’/v^2)（由除法法则推导的公式）
2. y’ 表示 一阶导，y’’ 表示 二阶导，y’’’ 表示 三阶导，y^(n) 表示 n阶导
3. 对于幂函数，只要阶次比幂次高，值都是0，例如：(x⁵⁾(7)求7阶导 = 0

考点十：函数的微分

知识点

例题

笔记

1. 一个函数可微分 实际上 就是可求导
2. u^v = e^vlnu

5、不定积分

考点一：不定积分的概念及性质

原函数

例题

不定积分

例题

不定积分的性质

（1）线性性质

（2）积分运算与微分运算互逆

例题

笔记

1. ∫ 表示 积分，d 表示 微分
2. 不定积分 = 某一个原函数 + C
3. 一个函数先积分再求导 = 这个函数本身，例如：[∫f(x)dx]’ = f(x)
4. 一个函数先积分再求微分 = 这个函数本身 * dx，例如：d[∫f(x)dx] = f(x)*dx
5. 一个函数求积分 = 函数本身 + C
6. lnx=t，求得x=e^t（解析）
7. e^lnx=x（解析）
8. ∫（1+e^x）dx = x + e^x +C，最迷的是移出来1变成了x（因为它吧x dx变成某个常数乘以d(关于x^2)的东西了。）
9. 求不定积分，结果一定要加上任意常数C

考点二：基本积分公式

基本积分公式

例题

笔记

1. ∫(1/x^2)*dx = (-1/x)+C
2. 再次强调，算不定义积分一定要 + 常数C
3. 解不定积分式子时，有系数的情况，先把系数提出去
4. tanx = sinx/cosx，cotx = cosx/sinx
5. 倒数公式： cotx = 1/tanx secx = 1/cosx cscx = 1/sinx
6. 倍角公式 sin2x = 2sinxcosx cos2x = 2cos^2 x-1=1-2sin^2 x=cos^2 x-sin^2 x
7. sin^2 x+cos^2 x = 1，1+tan^2 x = sec^2 x，1+cot^2 x = csc^2 x
8. 降幂公式 sin^2 x = 1-cos2x/2

6、中值定理及导数的应用

考点一：罗尔定理

罗尔定理

1、罗尔定理的验证

例题

2、利用罗尔定理证明根的存在性

（1）构造辅助函数

（2）验证罗尔定理的三个条件

（3）由罗尔定理得结论

3、利用罗尔定理判断根的个数
例题

笔记

1. 对于具体函数：写显然可导 对于抽象函数：写因为…连续可导，所以…连续可导
2. f(x)/x^2 求导后 可得：f’(x) - 2f(x)
3. f(x)时五次多项式 推导出 f’(x)是四次多项式 推导出 f’(x)=0最多有4个实根
4. 闭区间上连续，开区间上可导

考点二：拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理

1、拉格朗日中值定理的验证

例题

2、利用拉格朗日中值定理证明不等式

3、利用拉格朗日中值定理的推论证明恒等式

例题

笔记

1. 区间断点看，将中间部分写成差的形式
2. ln1=0
3. 开区间要分情况讨论
4. lnM-lnN=lnM/N

考点三：洛必达法则

知识点

例题

笔记

1. 看到∞/∞，0/0时，分子分母同时求导
2. 当x→0时，1-cos2x 与 二分之一 * x^2 等价
3. 加减时不能等价无穷代换，乘除时才可以
4. 看到幂指函数，一定会用到公式：u^v = e^vlnu
5. 当x→0时，sinx 与 x 等价
6. 用洛必达之前，式子能化简化简，否则会越解越复杂
7. 如果乘除的某一个因子，它的极限算出来是非零常数，可以考虑先把这个非零常数先算出来
8. 1+tan^2 x = sec^2 x

考点四：函数的单调性

1、定义

2、判断

例题

3、求单调区间

例题

4、利用单调性证明不等式

例题

笔记

1. 要知道函数单调性，需要对函数进行求导
2. 1-cosx >= 0
3. 分解因式
4. 求单调区间要与定义域取交集

考点五：函数的极值

1、极值的定义

2、驻点

3、极值的必要条件

例题

4、极值的充分条件

（1）第一充分条件

（2）第二充分条件

例题

笔记

1. 求驻点就是求导，让导数=0 即可
2. 可导函数的极值点一定是驻点，驻点就是导数 = 0 的点
3. 可微 => 可导

原创不易，希望能得到一个赞，感谢各位！