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广义二项级数&广义指数级数学习笔记

zhoukangyang zhoukangyang     2022-11-28     604

关键词：

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参考文章 ，ei & qwaszx tsdy！

感觉 "参考文章" 中有些地方的描述有点奇怪或证明相对麻烦，于是就有了这篇 blog

广义二项级数

定义广义二项级数如下：

\\[\\mathcalB_t(z) = \\sum\\limits_n \\ge 0 \\binomtn + 1n \\fracz^ntn + 1 \\]

结论

\\[\\mathcalB_t(z) = z\\mathcalB_t(z)^t+1 \\qquad(1) \\]

\\[\\mathcalB_t(z)^r = \\sum\\limits_n \\ge 0 \\binomtn + rn \\fracrtn + r z^n \\qquad(2) \\]

\\[\\frac\\mathcalB_t(z)^r1 - t + t \\mathcalB_t(z)^-1 = \\sum\\limits_n \\ge 0 \\binomtn + rn z^n \\qquad(3) \\]

证明

证明 (1)

设函数 \\(F(z), G(z)\\)， \\(F(z) = z (F(z) + 1)^t\\)，\\(G(z)\\) 为 \\(F(z)\\) 的复合逆。

那么 \\(F(G(z)) = G(z) (F(G(z)) + 1)^t\\)，\\(z = G(z) (z+1)^t\\)，\\(G(z) = \\fracz(z+1)^t\\)。

根据拉格朗日反演得到：

\\[[z^n] F(z) = \\frac1n [z^n - 1] (\\fraczG(z))^n = \\frac1n [z^n-1] (z+1)^nt = \\binomntn - 1 \\]

\\[F(z) + 1 = 1 + \\sum\\limits_n \\ge 1 \\fracz^nn \\binomntn - 1 = \\sum\\limits_n \\ge 0 \\binomnt+1n \\fracz^nnt+1 = \\mathcalB_t(z) \\]

然后就证明了 \\(\\mathcalB_t(z) = \\mathcalB_t(z)^t + 1\\)。

（你会发现这东西就是 LuoguP2767，套个 Lucas 就可以过掉那题了）

证明 (2)

\\(n = 0\\) 时正确性是显然的，现在考虑 \\(n > 0\\)。

设函数 \\(F(z), G(z)\\)， \\(F(z) = z (F(z) + 1)^t\\)，\\(G(z)\\) 为 \\(F(z)\\) 的复合逆。

设 \\(H(z) = (z + 1)^r\\)，那么拓展拉格朗日反演得

\\[[z^n]\\mathcalB_t(z)^r = [z^n] H(F(z)) = \\frac1n [z^n-1] H(z)\' (\\fraczG(z))^n = \\frac1n [z^n-1] (z+1)^r-1 (z+1)^nt = \\frac\\binomnt+r-1n - 1n = \\frac\\binomnt+rnnt+r \\]

证明 (3)

仍然设函数 \\(F(z), G(z)\\)， \\(F(z) = z (F(z) + 1)^t\\)，\\(G(z)\\) 为 \\(F(z)\\) 的复合逆。

设 \\(H(z) = \\frac(1 + z)^r1 - t + t (z + 1)^-1\\)。这里用 EI 鸽鸽发明的另类拉格朗日反演会更方便。

\\[[z^n] \\frac\\mathcalB_t(z)^r1 - t + t \\mathcalB_t(z)^-1 = [z^n] H(F(z)) = [z^n] H(z) (\\fraczG(z))^-n-1 G\'(z) \\]

\\[[z^n] \\frac(1 + z)^r+11 + z - t z (1+z)^(n+1)t \\frac1 + z - tz(1+z)^t+1 \\]

\\[[z^n] (1 + z)^r+nt \\]

\\[\\binomnt+rn \\]

广义指数级数

在鸽了

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