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【ML-13-4】隐马尔科夫模型ＨＭＭ--预测问题Viterbi（维特比）算法
目录
- 基础--HMM常用概率的计算
- HMM最可能隐藏状态序列近似算法
- Viterbi（维特比）算法
- Viterbi（维特比）算法举例
HMM模型最后一个问题的求解：求给定观测序列条件下，最可能出现的对应的隐藏状态序列。即给定模型λ=(A,B,π)和观测序列Q=q1,q2,...,qT，求给定观测序列条件概率P(I|Q，λ)最大的隐含状态序列 I。在阅读本篇前，建议先阅读这个系列的第一篇以熟悉HMM模型。
HMM模型的解码问题最常用的算法是维特比Viterbi（维特比）算法，当然也有其他的算法可以求解这个问题。同时维特比算法是一个通用的求序列最短路径的动态规划算法，也可以用于很多其他问题，比如文本挖掘的分词原理中单独用维特比算法来做分词。
本文关注于用维特比算法来解码HMM的的最可能隐藏状态序列。
一、基础--HMM常用概率的计算
利用前向概率和后向概率，我们可以计算出HMM中单个状态和两个状态的概率公式。
1.1 单个状态的概率
求给定模型λ和观测序列Q的情况下，在时刻t处于状态si的概率，记做：
单个状态概率的意义主要是用于判断在每个时刻最可能存在的状态，从而可以得到一个状态序列作为最终的预测结果。
利用前向概率和后向概率的定义可知：
由上面两个表达式可知：
1.2 两个状态的联合概率
求给定模型λ和观测序列Q的情况下，在时刻t处于状态si并时刻t+1处于状态sj概率，记做：
1.3 上述两种求和可以得到：
二、HMM最可能隐藏状态序列近似算法
在HMM模型的解码问题中，给定模型λ=(A,B,Π)和观测序列，求给定观测序列Q条件下，最可能出现的对应的状态序列I=i1,i2,...iT,即P(I|Q)要最大化。直接在每个时刻t时候最优可能的状态作为最终的预测状态，使用下列公式计算概率值：
只要求得满足使得上式概率最大的值，可以通过前向和后向求得。
近似算法很简单，但是却不能保证预测的状态序列是整体是最可能的状态序列，因为预测的状态序列中某些相邻的隐藏状态可能存在转移概率为0的情况。
而维特比算法可以将HMM的状态序列作为一个整体来考虑，避免近似算法的问题，下面我们来看看维特比算法进行HMM解码的方法。
三、Viterbi（维特比）算法
Viterbi算法实际是用动态规划的思路求解HMM预测问题，求出概率最大的"路径"，每条"路径"对应一个状态序列：
时刻t隐藏状态为i所有可能的状态转移路径i1,i2,...it中的概率最大值。记为δt(i):
由δt(i)的定义可以得到δ的递推表达式：
计算时刻T最大的δT(i),即为最可能隐藏状态序列出现的概率。
使得上式最大后，最终得到最有可能的隐藏状态序列I∗=i∗1,i∗2,...i∗T
四、Viterbi（维特比）算法举例
4.1 例题
假设有三个盒子，编号为1,2,3；每个盒子都装有黑白两种颜色的小球，球的比例如下：
按照下列规则的方式进行有放回的抽取小球，得到球颜色的观测序列：
- 按照π的概率选择一个盒子，从盒子中随机抽取出一个小球，记录颜色后，放回盒子中；
- 按照某种条件概率选择新的盒子，重复该操作；
- 最终得到观测序列："白黑白白黑
- 状态集合：S=盒子1，盒子2，盒子3
- 观测集合：O=白，黑
- 状态序列和观测序列的长度T=5
- 初始概率分布π
- 状态转移概率矩阵A
- 观测概率矩阵B
在给定参数π、A、B的时候，得到观测序列为"白黑白白黑"，求出最优的隐藏状态序列。
4.2 计算过程
最终盒子序列为: (2, 3, 2, 2, 3)
附件一：手写练习
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