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最小二乘法是用来做函数拟合或者求函数极值的方法。在机器学习，尤其是回归模型中，经常可以看到最小二乘法的身影，这里就对我对最小二乘法的认知做一个小结。
1.最小二乘法的原理与要解决的问题
最小二乘法是由勒让德在19世纪发现的，原理的一般形式很简单，当然发现的过程是非常艰难的。形式如下式：
目标函数 = Σ（观测值-理论值）2
观测值就是我们的多组样本，理论值就是我们的假设拟合函数。目标函数也就是在机器学习中常说的损失函数，我们的目标是得到使目标函数最小化时候的拟合函数的模型。举一个最简单的线性回归的简单例子，比如我们有m个只有一个特征的样本：
((x^{(1)},y^{(1)}), (x^{(2)},y^{(2)},...(x^{(m)},y^{(m)}))
样本采用下面的拟合函数：
(h_ heta(x) = heta_0 + heta_1 x)
这样我们的样本有一个特征x，对应的拟合函数有两个参数( heta_0 和 heta_1)需要求出。
我们的目标函数为：
(J( heta_0, heta_1) = sumlimits_{i=1}^{m}(y^{(i)} - h_ heta(x^{(i)})^2 = sumlimits_{i=1}^{m}(y^{(i)} - heta_0 - heta_1 x^{(i)})^2 )
用最小二乘法做什么呢，使(J( heta_0, heta_1))最小，求出使(J( heta_0, heta_1))最小时的( heta_0 和 heta_1)，这样拟合函数就得出了。
那么，最小二乘法怎么才能使(J( heta_0, heta_1))最小呢？
2.最小二乘法的代数法解法
上面提到要使(J( heta_0, heta_1))最小，方法就是对( heta_0 和 heta_1)分别来求偏导数，令偏导数为0，得到一个关于( heta_0 和 heta_1)的二元方程组。求解这个二元方程组，就可以得到( heta_0 和 heta_1)的值。下面我们具体看看过程。
(J( heta_0, heta_1)对 heta_0)求导，得到如下方程：
(sumlimits_{i=1}^{m}(y^{(i)} - heta_0 - heta_1 x^{(i)}) = 0 ) ①
(J( heta_0, heta_1)对 heta_1)求导，得到如下方程：
(sumlimits_{i=1}^{m}(y^{(i)} - heta_0 - heta_1 x^{(i)})x^{(i)} = 0 ) ②
①和②组成一个二元一次方程组，容易求出( heta_0 和 heta_1)的值：
( heta_0 = sumlimits_{i=1}^{m}ig(x^{(i)})^2sumlimits_{i=1}^{m}y^{(i)} - sumlimits_{i=1}^{m}x^{(i)}sumlimits_{i=1}^{m}x^{(i)}y^{(i)} Bigg/ nsumlimits_{i=1}^{m}ig(x^{(i)})^2 - ig(sumlimits_{i=1}^{m}x^{(i)})^2)
( heta_1 = nsumlimits_{i=1}^{m}x^{(i)}y^{(i)} - sumlimits_{i=1}^{m}x^{(i)}sumlimits_{i=1}^{m}y^{(i)} Bigg/ nsumlimits_{i=1}^{m}ig(x^{(i)})^2 - ig(sumlimits_{i=1}^{m}x^{(i)})^2)
这个方法很容易推广到多个样本特征的线性拟合。
拟合函数表示为 (h_ heta(x_1, x_2, ...x_n) = heta_0 + heta_{1}x_1 + ... + heta_{n}x_{n}), 其中( heta_i ) (i = 0,1,2... n)为模型参数，(x_i ) (i = 0,1,2... n)为每个样本的n个特征值。这个表示可以简化，我们增加一个特征(x_0 = 1 ) ，这样拟合函数表示为：
(h_ heta(x_0, x_1, ...x_n) = sumlimits_{i=0}^{n} heta_{i}x_{i})。
损失函数表示为：
(J( heta_0, heta_1..., heta_n) = sumlimits_{j=1}^{m}(h_ heta(x_0^{(j)}), x_1^{(j)}, ...x_n^{(j)})) - y^{(j)}))^2 = sumlimits_{j=1}^{m}(sumlimits_{i=0}^{n} heta_{i}x_{i}^{(j)}- y{(j)})^2 )
利用损失函数对( heta_i)(i=0,1,...n)求导,并令导数为0可得：
(sumlimits_{j=0}^{m}(sumlimits_{i=0}^{n} heta_{i}x_{i}^{(j)} - y_j)x_i^{j}) = 0 (i=0,1,...n)
这样我们得到一个N+1元一次方程组，这个方程组有N+1个方程，求解这个方程，就可以得到所有的N+1个未知的( heta)
最小二乘法小结
最小二乘法是用来做函数拟合或者求函数极值的方法。在机器学习，尤其是回归模型中，经常可以看到最小二乘法的身影，这里就对我对最小二乘法的认知做一个小结。1.最小二乘法的原理与要解决的问题 最小二乘... 查看详情
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