关键词：
任务车间调度问题的混合整数规划模型
文献[1]的7.3节讲了一个任务车间调度问题。
一个车间生产套印纸张，分别套印蓝绿黄三种颜色。三种纸张根据需求分别在蓝、绿、黄三个机器上印刷，印刷时间如下表：
| 印制颜色 | 纸1 | 纸2 | 纸3 | |
| 机器1 | 蓝 | 45 | 20 | 12 |
| 机器2 | 绿 | 10 | 17 | |
| 机器3 | 黄 | 10 | 34 | 28 |
纸张需要满足下图所示的印制次序：
要求安排工艺调度（即安排纸张在各个机床上的加工时间）以使得总完成时间最短。
模型及求解
从上图可以读出纸张的印制次序为：
Paper 1: 1 --> 3
Paper 2: 2 --> 1 -->3
Paper 3: 3--> 1 --> 2
Paper 1 不需要在机器2上加工。为一致起见，设其在机器2上的加工时间为0，加工次序为3。得到下面的加工次序矩阵。
S=
1 3 2
2 1 3
3 1 2
设 T[i][j] 为纸张 j 在机器 i 上的加工时长。设 t[i][j] 为纸张 j 在机器 i 上的开始加工时刻。
模型的目标是极小化总完工时间tt:
min tt //(1)
显然tt必须大于等于三种纸张的各自完成时间：
tt >= t[S[j][3]][j]+T[S[j][3]][j] | j=1,...,3 //(2)
对任意纸张j和k， 如果 j<>k， 则他们在同一台机器上的加工时间不可冲突：
t[i][k] >= t[i][j] + T[i][j] 或 t[i][j] >= t[i][k] + T[i][k] | i=1,...,3;j=1,...,3;k=1,..,3;j<>k
上面是两个或约束，不可以直接写入混合线性规划的。解决办法是引入二值变量u[i][j][k]和大M，把上面的逻辑转换成两个联立约束：
t[i][k] >= t[i][j] + T[i][j] - M*u[i][j][k] | i=1,...,3;j=1,...,3;k=1,..,3;j<>k //(3)
t[i][j] >= t[i][k] + T[i][k] -M(1-u[i][j][k]) | i=1,...,3;j=1,...,3;k=1,..,3;j<>k //(4)
纸张需要满足加工次序约束：
t[S[j][k+1]][j] >= t[S[j][k]][j] + T[S[j][k]][j] |j=1,...,3; k=1,...,2 //(5)
完整的+Leapms模型：
min tt //(1)
subject to
//tt大于等于三种纸张的各自完成时间：
tt >= t[S[j][3]][j]+T[S[j][3]][j] | j=1,...,3 //(2)
//对任意纸张j和k，如果j<>k，则他们在同一台机器上的加工时间不能冲突：
t[i][k] >= t[i][j] + T[i][j] - M*u[i][j][k] | i=1,...,3;j=1,...,3;k=1,..,3;j<>k //(3)
t[i][j] >= t[i][k] + T[i][k] -M(1-u[i][j][k]) | i=1,...,3;j=1,...,3;k=1,..,3;j<>k //(4)
//加工次序约束：
t[S[j][k+1]][j] >= t[S[j][k]][j] + T[S[j][k]][j] |j=1,...,3; k=1,...,2 //(5)
where
M is a number
T[i][j] is a number | i=1,...,3;j=1,...,3
S[i][j] is an integer | i=1,...,3;j=1,...,3
tt is a variable of nonnegative number
t[i][j] is a variable of nonnegative number | i=1,...,3;j=1,...,3
u[i][j][k] is a variable of binary|i=1,...,3;j=1,...,3;k=1,..,3;j<>k
data
T=
45 20 12
0 10 17
10 34 28
S=
1 3 2
2 1 3
3 1 2
M=1000
求解过程
+Leapms>load
Current directory is "ROOT".
.........
jobshop.leap
.........
please input the filename:jobshop
================================================================
1: min tt //(1)
2:
3: subject to
4:
5: //tt大于等于三种纸张的各自完成时间：
6: tt >= t[S[j][3]][j]+T[S[j][3]][j] | j=1,...,3 //(2)
7:
8: //对任意纸张j和k，如果j<>k，则他们在同一台机器上的加工时间不能冲突：
9: t[i][k] >= t[i][j] + T[i][j] - M*u[i][j][k] | i=1,...,3;j=1,...,3;k=1,..
,3;j<>k //(3)
10: t[i][j] >= t[i][k] + T[i][k] -M(1-u[i][j][k]) | i=1,...,3;j=1,...,3;k=1
,..,3;j<>k //(4)
11:
12: //加工次序约束：
13: t[S[j][k+1]][j] >= t[S[j][k]][j] + T[S[j][k]][j] |j=1,...,3; k=1,...,2
//(5)
14:
15: where
16: M is a number
17: T[i][j] is a number | i=1,...,3;j=1,...,3
18: S[i][j] is an integer | i=1,...,3;j=1,...,3
19: tt is a variable of nonnegative number
20: t[i][j] is a variable of nonnegative number | i=1,...,3;j=1,...,3
21: u[i][j][k] is a variable of binary|i=1,...,3;j=1,...,3;k=1,..,3;j<>k
22:
23: data
24:
25: T=
26: 45 20 12
27: 0 10 17
28: 10 34 28
29:
30:
31: S=
32: 1 3 2
33: 2 1 3
34: 3 1 2
35:
36: M=1000
================================================================
>>end of the file.
Parsing model:
1D
2R
3V
4O
5C
6S
7End.
..................................
number of variables=28
number of constraints=45
..................................
+Leapms>mip
relexed_solution=64; number_of_nodes_branched=0; memindex=(2,2)
The Problem is solved to optimal as an MIP.
找到整数规划的最优解.非零变量值和最优目标值如下：
.........
t1_1* =42
t1_2* =10
t1_3* =30
t2_1* =97
t2_3* =42
t3_1* =87
t3_2* =30
t3_3* =2
tt* =97
u1_1_2* =1
u1_1_3* =1
u1_3_2* =1
u2_1_2* =1
u2_1_3* =1
u2_3_2* =1
u3_1_2* =1
u3_1_3* =1
u3_2_3* =1
.........
Objective*=97
.........
+Leapms>
求解结果
+Leapms>mip
relexed_solution=64; number_of_nodes_branched=0; memindex=(2,2)
The Problem is solved to optimal as an MIP.
找到整数规划的最优解.非零变量值和最优目标值如下：
.........
t1_1* =42
t1_2* =10
t1_3* =30
t2_1* =97
t2_3* =42
t3_1* =87
t3_2* =30
t3_3* =2
tt* =97
u1_1_2* =1
u1_1_3* =1
u1_3_2* =1
u2_1_2* =1
u2_1_3* =1
u2_3_2* =1
u3_1_2* =1
u3_1_3* =1
u3_2_3* =1
.........
Objective*=97
.........
+Leapms>
反向生成Latex数学概念模型
+Leapms提供从+Leapms模型向Latex数学概念模型的转换。
当模型调整和测试完毕，使用+Leapms的latex命令可生成本问题的如下数学概念模型：
参考文献
[1] Christelle Guéret, Christian Prins, Marc Sevaux. Applications of optimization with Xpress-MP (Translated and revised by Susanne Heipcke). Dash Optimization Ltd. 2000
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