从线性分类器开始

• 线性分类器形式简单，易于理解。
• 通过层级结构（神经网络）或高维映射（支持向量机）可以形成功能强大的非线性模型。

线性分类器的定义

线性分类器是一种线性映射，将输入的图像特征映射为类别分数。线性分类器定义如下：$$f_i(\mathbf{x},{\mathbf{w}}_i)={\mathbf{w}}_i^T\mathbf{x}+b_i,i=1,2,...,c$$其中$\mathbf{x}$代表输入的$d$维图像向量，$c$为类别个数，${\mathbf{w}}_i={\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccc}{w}_{i1}& w_{i2}& ...& w_{id}\end{array}\right]\end{array}}^T$为第$i$个类别的权值向量，$b_i$为偏置。如果$f_i(\mathbf{x})>f_j(\mathbf{x})$，则决策输入图像$\mathbf{x}$属于第$i$类。

线性分类器的决策步骤

1. 将图像表示为向量。
   假设我们有一张图片$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}56& 231\\ 24& 2\end{array}\right]\end{array}$$将其转换为向量的形式即为$$\mathbf{x}=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}56\\ 231\\ 24\\ 2\end{array}\right]\end{array}$$
2. 计算当前图片每个类别的分数。
   假设我们当前需要完成的是一个三分类任务（将图片划分为汽车类、猫类、鸟类的其中一种），线性分类器为$$f_i(\mathbf{x},{\mathbf{w}}_i)={\mathbf{w}}_i^T\mathbf{x}+b_i,i=1,2,3$$其中权值矩阵$${\mathbf{w}}_i^T=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccc}0.2& -0.5& 0.1& 2.0\\ 1.5& 1.3& 2.1& 0.0\\ 0& 0.25& 0.25& -0.3\end{array}\right]\end{array}$$偏置$$b_i=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}1.1\\ 3.2\\ -1.2\end{array}\right]\end{array}$$也就是说，对于汽车类，有$${\mathbf{w}}_1^T=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccc}0.2& -0.5& 0.1& 2.0\end{array}\right]\end{array}$$对于猫类，有$${\mathbf{w}}_2^T=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccc}1.5& 1.3& 2.1& 0.0\end{array}\right]\end{array}$$对于鸟类，有 w 3 T = [ 0 0.25 0.25 − 0.3 ] \\bm w_3^T=\\begingathered\\beginbmatrix 0 & 0.25 & 0.25 & -0.3 \\endbmatrix\\endgathered w3T​=5月深度学习班第2课高效计算基础与图像线性分类器

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