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评价方法
回归问题有很多的评价方法。
这里主要想写一下R^2的计算方法。
需要计算R^2需要先弄清楚以下几个误差的计算方法:
SSE
SSE为误差平方和,是指预测值和原样本值之间的误差。
SSR
SSR为回归平方和,是指预测值和真实值之间的波动情况。
SST
SST是指总偏差平方和,是指真实值的波动情况。
不难发现SSR + SSE = SST
R^2的定义为SSR / SST = 1 - SSE/SST
R^2的评价标准如下:
一元线性回归
首先给出一点点数据用作示例。
# coding:utf-8
# 2022.9.5
import matplotlib.pyplot as plt
x = [6, 8, 10, 14, 18]
y = [7, 9, 13, 17.5, 18]
plt.scatter(x, y)
plt.xlabel("D")
plt.ylabel("price")
plt.grid()
plt.show()
画个图看看:
这是一个披萨直径和价格(x, y)的数据
看图我们可以发现,拟合出的直线k一定是大于0的。
接下来我们看一下西瓜书里关于线性回归的介绍:
以我们一元的数据为例,那么就是一元线性回归,比较简单。
那么就是求:
这里我们可以考虑成有那么一个wxi + bi的解析式,带入我们数据的x得出的y与真实的y越接近那么这个模型肯定拟合的越好的。
那么用什么来衡量这个接近呢?
课上老师提了三种:
- xi - xj => 0
- |xi - xj| => 0
- (xi - xj)^2 => 0
第一种是xi和xj的差越趋近于0越接近
第二种是xi和xj的差的绝对值越接近于0越接近
第三种是xi和xj的差的平方和越接近于0越接近
明显第三种好,但是为什么呢?
原因如下:
- 会相互抵消
- 不是处处可导
- 处处可导
因此选择第三种来衡量接近。
那么问题就解决一半了,因为只需要求解出来就行了。
西瓜书上也是这么个意思。
现在就是要求3.4式子值最小的w和b就可以解决一元线性回归的问题了。
公式可能一下子看不懂怎么来的,没事,自己推以下就可以了。
自己不会推的话可以参考一下这篇:
机器学习之线性回归(手推公式版)
看人家推一遍也可以。
这里是补充内容,为了严谨。
到了这里,一元线性回归的逻辑解已经写出来了,那么如何带到上面那个示例真真切切算出来呢?
最开始想到最快的方法是numpy:
np.polyfit求解
import numpy as np
# x: 类数组,形状(M,),表示M个采样点的x坐标
# y: 类似array_,形状为(M,)或(M,K), 表示采样点的y坐标。
# 通过传递每列包含一个数据集的2D数组,可以一次拟合多个共享相同x坐标的采样点数据集
# deg: 度:整数, 表示拟合多项式的度
poly = np.polyfit(x,y,deg=1)
print(poly)
z = np.polyval(poly, x)
plt.scatter(x, y, label="True")
plt.plot(x, z, label="Pre", color="red")
plt.xlabel("D")
plt.ylabel("price")
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()
运行结果:
poly输出前面那个是w后面那个是b
得出的结果确实是k>0
带入公式求解
其实我们也可直接套西瓜书的一元求解公式:
import numpy as np
x = [6, 8, 10, 14, 18]
y = [7, 9, 13, 17.5, 18]
def get_w(x, y):
x_mean = np.mean(x)
m = len(x)
res1 = 0 # 公式上面部分
res2 = 0 # 公式下面左边部分
for i in range(m):
res1 += y[i] * (x[i] - x_mean)
res2 += np.power(x[i], 2)
return res1 / (res2 - np.power(np.sum(x), 2) / m)
w = get_w(x, y)
print(w)
def get_b(x, y, w):
b = 0
m = len(x)
for i in range(m):
b += y[i] - w * x[i]
return b / m
b = get_b(x, y, w)
print(b)
运行结果:
没什么毛病。
化简公式求解
然后老师上课说到,求出的解其实可以看成:
w = cov(x, y) / var(x)
b =
y
‾
\\overliney
y - w
x
‾
\\overlinex
x
算了一下:
import numpy as np
var = np.var(x, ddof=1) # 贝塞尔矫正
x = np.array(x)
y = np.array(y)
y_bar = y.mean()
x_bar = x.mean()
cov = np.multiply((x - x_bar).transpose(), (y - y_bar)).sum() / (x.shape[0] - 1)
var_x = np.var(x, ddof=1)
w = cov / var_x
b = y_bar - w * x_bar
print(w)
print(b)
确实没毛病。
lstsq求解
也可以用numpy里的lstsq来求:
from numpy.linalg import lstsq
x = [[6, 8, 10, 14, 18], [1, 1, 1, 1, 1]]
x = np.array(x)
print(y.reshape(-1, 1).shape)
print(lstsq(x.transpose(), y.reshape(-1, 1)))
# lstsq的输出包括四部分:回归系数、残差平方和、自变量X的秩、X的奇异值。一般只需要回归系数就可以了。
当然还有很多很多求解方式。
求解完了我们可以评价一下模型:
理论上应该用测试集来评价(模型没见过的数据)
但是这里就用训练集浅浅套用一下:
x = [6, 8, 10, 14, 18]
y = [7, 9, 13, 17.5, 18]
x = np.array(x)
y = np.array(y)
pre_y = x * w + b
print(pre_y)
print(y)
print(np.power(pre_y - y, 2))
SSR = np.power(pre_y - y.mean(), 2).sum()
SST = np.power(y - y.mean(), 2).sum()
SSE = np.power(y - pre_y, 2).sum()
# R^2 = 1 - SSres / SStot
print(SSR, SST, SSE)
print(SSR + SSE)
print(1 - SSE / SST)
确实验证了SSR + SSE = SST(计算机小数会飘,实际上是相等的)
计算出的训练集的R^2 = 0.91
看上去蛮不错,但是应该再看测试集才能综合评价模型,因为这里没留测试集,就这样吧。
多元线性回归
一元的情况确实特殊,用各种方法都能乱解,但是多元的情况才是更加符合实际的,因此计算起来还是需要通过矩阵运算会比较有效率,之前遍历套公式就显得效率低下不太行了。
不过计算的思路还是一样的,只不过换成矩阵运算了。
为什么这里d+1维?
因为原本特征d个加上偏置b(被吸入w向量了)就相当于看成d+1维的向量了。
同样的思路求出w向量即可
后面还没看就不继续了。
多元公式推导也可以看
机器学习之线性回归(手推公式版)
代码实现
x = [[6,8,10,14,18],[2,1,0,2,0],[1,1,1,1,1]]
y = [[7],[9],[13],[17.5],[18]]
# y = w1 * x1 + w2 * x2 + b
from turtle import mode
from numpy.linalg import inv
from numpy import dot, transpose
x = np.array(x)
y = np.array(y)
x = x.transpose()
print(dot(inv(dot(transpose(x), x)), dot(transpose(x), y)))
from numpy.linalg import lstsq
print(lstsq(x, y))
两种代码解出结果是一样的
一元多项式回归
假设需要拟合一个最高次只有2的一元多项式。
那么此时思路也是和之前一样,算法也是。
就是求一个y = a0 + a1 * x + a2 * x ^2中的a0、a1、a2
带入x之后其实就是相当于求多元线性回归。
以开始的例子为例,求直径的多项式(最高次为2)的拟合曲线:
代码实现
x = [[6,8,10,14,18],[6 ** 2,8 ** 2,10 ** 2,14 ** 2,18 ** 2],[1,1,1,1,1]]
y = [[7],[9],[13],[17.5],[18]]
# y = w1 * x1 + w2 * x2 + b
from turtle import mode
from numpy.linalg import inv
from numpy import dot, transpose
x = np.array(x)
y = np.array(y)
x = x.transpose()
print(dot(inv(dot(transpose(x), x)), dot(transpose(x), y)))
from numpy.linalg import lstsq
print(lstsq(x, y))
两种方式解出结果是一样的
参考
#深度解析# SSR,MSE,RMSE,MAE、SSR、SST、R-squared、Adjusted R-squared误差的区别
机器学习07:线性回归评估 SST、SSE、SSR、R2
衡量线性回归法的指标:MSE, RMSE和MAE
周志华-机器学习
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