关键词：
【11】三个重要统计量的分布(1)
假设检验问题的基础内容，三大抽样分布在多元形态下的推广。
分量独立的 (n) 维随机向量(X)的二次型
(chi^2)得复习节。。。
设(X_isim N_1(mu_i,sigma^2)(i=1,...,n))，且相互独立，记
则(Xsim N_n(mu=(mu_1,...,mu_n)‘,sigma^2I_n)).
- 当(mu_i=0,(i=1,...,n),sigma^2=1)时（每一个都是标准正态）：
- 当(mu_i=0,sigma^2 eq1)时，（凑成标准正态）
- 当(colorredmu_i eq0)时，(X‘X)的分布称为非中心(chi^2)分布。
(def)
设 (r.v. X_n imes1sim N_n(mu,I_n),(mu eq0))，则称 (xi=X‘X) 为服从 (n) 个自由度，非中心参数 (delta=mu‘mu=sum_i=1^nmu^2_i) 的 (chi^2) 分布，记为：
[X‘Xsimchi^2(n,delta)colorgrayorcolorblackchi^2_n(delta) ]
(推广)
如何将一般的正态随机向量 (协方差矩阵不是单位阵) 转化成服从 (chi^2)分布。
设(Xsim N_p(mu,Sigma>0)),则(X‘Sigma^-1Xsimchi^2(p,delta=mu‘Sigma^-1mu)).
由于(Sigma)是正定矩阵，则可以分解为非退化方阵的乘积：(Sigma=CC‘)，则令 (Y=C^-1X)，于是有：
[Ysim N(C^-1mu,C^-1Sigma(C^-1)‘) ]因为(Sigma=CC‘)所以，(Ysim N_p(C^-1mu,I_n)),且有：
[X‘Sigma^-1X=Y‘C‘Sigma^-1CY=Y‘Ysim chi^2(p,delta) ]其中：
[delta=(C^-1mu)‘(C^-1mu)=mu‘Sigma^-1mu ]
- (对称幂等矩阵)
【结论很重要】
设(Xsim N_n(0_n,sigma^2I_n)), (A) 为对称矩阵，(rank(A)=r) ，则二次型：(fracX‘AXsigma^2simchi^2(r)Leftrightarrow A^2=A).
( ightrightarrows)
因为 (A) 是对称矩阵，所以存在正交阵 (Gamma) 使得：
[Gamma‘AGamma=diag(lambda_1,...,lambda_r,0,...,0) ]令
[Y=Gamma‘Xsim N_n(0_n,sigma^2I_n)，X=Gamma Y ]则
[xi=X‘AX/sigma^2=Y‘Gamma‘AGamma Y/sigma^2=sum_i=1^rlambda_iY_i^2/sigma^2 ]且(Y_1,...,Y_r)独立同(N(0,sigma^2))分布，因此，(Y_i^2/sigma^2simchi^2(1),(i=1,...,r)),且相互独立。
(sum_i=1^rlambda_iY_i^2/sigma^2)的特征函数为：
[(1-2ilambda_1t)^-1/2(1-2ilambda_2t)^-1/2...(1-2ilambda_rt)^-1/2 ]又因为(xi=X‘AX/sigma^2simchi^2(r)),因此他的特征函数为：
[(1-2it)^-r/2=(1-2ilambda_1t)^-1/2(1-2ilambda_2t)^-1/2...(1-2ilambda_rt)^-1/2 ]比较得：(lambda_1=...=lambda_r=1),于是：
[diag(1,...,1,0,...,0)=Gamma‘AGamma=Gamma‘AGammacdotGamma‘AGamma=Gamma‘A^2Gamma ]所以(A)是对称幂等矩阵。
(leftleftarrows)
对称幂等矩阵的特征值非0即1，且只有r个非0特征值，即：
[Gamma‘AGamma=left[eginarrayccI_r&OO&Oendarray ight] ]令(Y=Gamma‘X),则 (Ysim N_n(0_n,sigma^2Gamma‘I_nGamma)=N_n(0_n,sigma^2I_n)).
[fracX‘AXsigma^2=fracY‘Gamma‘AGamma Ysigma^2=frac1sigma^2Y‘left[eginarrayccI_r&OO&Oendarray ight]Y=frac1sigma^2sum_i=1^rY_i^2simchi^2(r) ]
- (二次型与线性函数的独立性)
设(Xsim N_n(mu,sigma^2I_n))，(A)为(n)阶对称矩阵，(B)为(m imes n)矩阵，令 (xi=X‘AX，Z_m imes1=BX) ，若 (BA=O) , 则(BX,X‘AX) 相互独立。
顺序不能换。
- (两个二次型相互独立)
设(Xsim N_n(mu,sigma^2I_n)) , (A,B) 为 (n) 阶对称矩阵，则：
(chi^2 o Wishart)分布
设(X_(alpha)sim N_p(0,Sigma),(alpha=1,...,n))相互独立，记(X=(X_(1),...,X_(n))‘)为(n imes p)维矩阵，则称
的分布为(colorredWishart)分布，记为：(Wsim W_p(n,Sigma)).
- 当(p=1)时，(X_(alpha)sim N_1(0,sigma^2),W=sum X_(alpha)^2simsigma^2chi^2(n)).
一般的，(X_(alpha)sim N_p(mu_alpha,Sigma),(alpha=1,...,n))相互独立，记
则称(W=X‘X)服从非中心参数为 (Delta=M‘M=summu_alphamu_alpha‘)的非中心威沙特分布，记为(Wsim W_p(n,Sigma,Delta))。
性质
- 设(X_(alpha)sim N_p(0,Sigma),(alpha=1,...,n))相互独立,则样本离差阵(A)服从威沙特分布，即：
- 设 (W_isim W_p(n_i,Sigma),(i=1,...,k))相互独立，则
其中 (n=n_1+cdots+n_k).
- 设(p)阶随机阵(Wsim W_p(n,Sigma)).C是(m imes p)常数阵，则(m)阶随机阵(CWC‘)也服从威沙特分布，即：(CWC‘sim W_m(n,CSigma C‘)).
- (aWsim W_p(n,aSigma),(a>0,为常数));
- 设 (l‘=(l_1,...,l_p)),则(l‘Wl=xisim W_1(n,l‘Sigma l)),即：(xisimsigma^2chi^2(n)),其中：(sigma^2=l‘Sigma l).
- 分块威沙特矩阵：
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