目录

         1.人工智能、机器学习与深度学习

1.1 人工智能、机器学习与深度学习

1.2 起源与发展

1.3 深度学习定义与分类

1.4 主要应用

2 数学基础

2.1 矩阵论

2.2 概率统计

2.3 信息论

2.4 最优化估计

3 总结

1 人工智能与机器学习

• 人工智能分类：强人工智能、弱人工智能、超级人工智能
• 机器学习分类：有监督学习、无监督学习、强化学习

1.2 起源与发展

• 第1阶段：提出MP神经元模型、感知器、ADLINE神经网络，并指出感知器只能解决简单的线性分类任务，无法解决XOR简单分类问题
• 第2阶段：提出Hopfiled神经网络、误差反向传播算法、CNN
• 第3阶段：提出深度学习概念，在语音识别、图像识别的应用

1.3 深度学习定义与分类

• 定义：采用多层网络结构对未知数据进行分类或回归
• 分类：
  1. 有监督学习：深度前馈网络、卷积神经网络、循环神经网络等
  2. 无监督学习：深度信念网、深度玻尔兹曼机、深度自编码器等

1.4 主要应用

• 图像处理领域：图像分类、物体检测、图像分割、图像回归
• 语音识别领域：语音识别、声纹识别、语音合成
• 自然语音处理领域：语言模型、情感分析、神经机器翻译、神经自动摘要、机器阅读理解、自然语言推理
• 综合应用：图像描述、可视回答、图像生成、视频生成

2 数学基础

2.1 矩阵论

• 张量：标量是0阶张量，矢量是1阶张量，矩阵是2阶张量，三维及以上数组称为张量
• 矩阵的秩（Rank）：矩阵向量中的极大线性无关组的数目
• 矩阵的逆：
  1. 奇异矩阵：rank(A_n×n)<nrank(An×n​)<n
  2. 非奇异矩阵：rank(A_n×n)=nrank(An×n​)=n
• 广义逆矩阵：如果存在矩阵BB使得ABA=AABA=A，则称BB为AA的广义逆矩阵
• 矩阵分解：
  1. 特征分解：A = U\\Sigma U^TA=UΣUT
  2. 奇异值分解：A = U \\Sigma V^TA=UΣVT、U^T U = V^T V = IUTU=VTV=I

2.2 概率统计

• 随机变量：

  1. 分类：离散随机变量、连续随机变量
  2. 概念：用概率分布来指定它的每个状态的可能性

• 常见的概率分布：

  1. 伯努利分布：单个二值型离散随机变量的分布，概率分布函数：P(X=1)=p,P(X=0)=1-pP(X=1)=p,P(X=0)=1−p
  2. 二项分布：重复nn次伯努利试验，概率分布函数：P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^n-kP(X=k)=Cnk​pk(1−p)n−k
  3. 均匀分布：概率密度函数：\\displaystyle p(x) = \\frac1b-a, \\quad a < x <bp(x)=b−a1​,a<x<b
  4. 高斯分布：又称正态分布，概率密度函数：\\displaystyle p(x) = \\frac1\\sqrt2 \\pi\\sigmae^-\\frac(x-\\mu)^22 \\sigma^2p(x)=2π​σ1​e−2σ2(x−μ)2​
  5. 指数分布：独立随机事件发生的时间间隔，概率密度函数：p(x) = \\lambda e^-\\lambda x (x \\geqslant 0)p(x)=λe−λx(x⩾0)

• 多变量概率分布：

  1. 条件概率：P(X | Y)P(X∣Y)
  2. 联合概率：P(X, Y)P(X,Y)
  3. 先验概率：在事件发生前已知的概率
  4. 后验概率：基于新的信息，修正后来的先验概率，获得更接近实际情况的概率估计
  5. 全概率公式：\\displaystyle P(B) = \\sum_i = 1^nP(A_i)P(B|A_i)P(B)=i=1∑n​P(Ai​)P(B∣Ai​)
  6. 贝叶斯公式：P(A_i | B) = \\frac P(B | A_i) P(A_i)P(B) = \\fracP(B | A_i) P(A_i) \\displaystyle \\sum_j=1^n P(A_j) P(B | A_j)P(Ai​∣B)=P(B)P(B∣Ai​)P(Ai​)​=j=1∑n​P(Aj​)P(B∣Aj​)P(B∣Ai​)P(Ai​)​

• 常用统计量：

  1. 方差：随机变量与数学期望之间的偏离程度 \\textVar(X) = E\\left\\ [x-E(x)]^2 \\right \\ = E( x^2 ) -[E(x)]^2Var(X)=E[x−E(x)]2=E(x2)−[E(x)]2
  2. 协方差：两个随机变量XX和YY的总体误差 \\textCov(X,Y)=E\\left\\ [x-E(x)][y-E(y)] \\right\\=E \\left( xy \\right) - E(x)E(y)Cov(X,Y)=E[x−E(x)][y−E(y)]=E(xy)−E(x)E(y)

2.3 信息论

• 熵：样本集纯度指标，或样本集报班的平均信息量

  H(X) = - \\sum_i = 1^n P(x_i) \\log_2 P(x_i)H(X)=−i=1∑n​P(xi​)log2​P(xi​)

• 联合熵：度量二维随机变量XYXY的不确定性

  H(X, Y) = -\\sum_i = 1^n \\sum_j = 1^n P(x_i, y_j) \\log_2 P(x_i, y_j)H(X,Y)=−i=1∑n​j=1∑n​P(xi​,yj​)log2​P(xi​,yj​)

• 条件熵：

  \\beginaligned H(Y|X) &= \\sum_i = 1^n P(x_i) H(Y|X = x_i) \\\\ &= -\\sum_i = 1^n P(x_i) \\sum_j = 1^n P(y_j | x_i) \\log_2 P(y_j | x_i) \\\\ &= -\\sum_i = 1^n \\sum_j = 1^n P(x_i, y_j) \\log_2 P(y_j | x_i) \\endalignedH(Y∣X)​=i=1∑n​P(xi​)H(Y∣X=xi​)=−i=1∑n​P(xi​)j=1∑n​P(yj​∣xi​)log2​P(yj​∣xi​)=−i=1∑n​j=1∑n​P(xi​,yj​)log2​P(yj​∣xi​)​

• 互信息：

  I(X;Y) = H(X)+H(Y)-H(X,Y)I(X;Y)=H(X)+H(Y)−H(X,Y)

• 相对熵：又称KL散度，描述两个概率分布PP和QQ差异，用概率分布QQ拟合真实分布PP时，产生的信息表达损耗

  1. 离散形式：\\displaystyle D(P||Q) = \\sum P(x)\\log \\fracP(x)Q(x)D(P∣∣Q)=∑P(x)logQ(x)P(x)​
  2. 连续形式：\\displaystyle D(P||Q) = \\int P(x)\\log \\fracP(x)Q(x)D(P∣∣Q)=∫P(x)logQ(x)P(x)​

• 交叉熵：目标与预测值之间的差距

  \\beginaligned D(P||Q) &= \\sum P(x)\\log \\fracP(x)Q(x) \\\\ &= \\sum P(x)\\log P(x) - \\sum P(x)\\log Q(x) \\\\ &= -H(P(x)) -\\sum P(x)\\log Q(x) \\endalignedD(P∣∣Q)​=∑P(x)logQ(x)P(x)​=∑P(x)logP(x)−∑P(x)logQ(x)=−H(P(x))−∑P(x)logQ(x)​

2.4 最优化估计

• 最小二乘估计：采用最小化误差的平方和，用于回归问题

数学基础

线性代数

• 标量（scalar）：一个标量就是一个单独的数。
• 向量（vector）：一个向量是一列数。
• 矩阵（matrix）：矩阵是一个二维数组，其中的每一个元素被两个索引所确定。
• 张量（tensor）：一个数组中的元素分布在若干维坐标的规则网络中，称之为张量。
• 转置（transpose）：矩阵的转置是以主对角线为轴的镜像。
• 单位矩阵（identity matrix）：所有沿主对角线的元素都是1，所有其他位置的元素都是0.
• 对角矩阵（diagonal matrix）：只在主对角线上含有非零元素，其他位置都是0。
• 正交矩阵（orthogonal matrix）：行向量和列向量分别标准正交的方阵。
• 正定（positive definite）：矩阵所有特征值都是正数。
• 半正定（positive semidefinite）：矩阵所有特征值都是非负数。
• 负定（negative definite）：矩阵所有特征值都是负数。
• 半负定（negative semidefinite）：矩阵所有特征值都是非正数。
• 矩阵的秩（rank）：矩阵列向量中的极大线性无关组的数目，记作矩阵的列秩，同样可以定义行秩。行秩=列秩=矩阵的秩，通常记作rank(A)。