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非线性泛函分析导论（序言）：实践中的变分问题
这篇文章是《非线性泛函分析导论》系列文章的大纲。
泛函分析是所有基础数学中最贴近工程技术实践的一门学科。我做过一段调查：在工科硕士生中，最受青睐的数学课程是矩阵论和最优化理论，其次是数理统计。而选修得最多的基础数学课程就是泛函分析（一般不加前缀，就默认是线性泛函分析）。
当然，泛函分析对于数学自身而言的重要性就更加不言而喻了。不懂基本的泛函分析理论就与现代数学的几乎所有分支绝缘了。
但总的来说，世界的本质是非线性的，面对科学研究中越来越艰深、越来越无法回避的非线性问题，我们迫切地想要把泛函分析从线性算子理论拓展到非线性问题中来。从线性到非线性是一道鸿沟，而想要跨越这道鸿沟，我们几乎唯一的依靠就是拓扑学。
一般地说，非线性泛函分析的标准内容包括以下几个方面：
1.以隐函数定理和反函数定理为核心的赋范线性空间的微分学
2.以映射度理论为核心的一系列不动点定理
3.单调算子理论
4.大范围变分法
作为导论性质的系列文章，我们会涉及第1、2、3条的内容，至于第4条，我只打算写以下内容：
-4.1.Nehari流形（简单介绍）
-4.2.山路定理及其在非线性PDE中的应用
-4.3.山路定理的推广——环绕定理
至于再往后的：4.4畴数理论；4.5指标理论、4.6Morse理论等，特别是4.5和4.6我认为它们不应该被简单地归类为非线性泛函分析了。因为它们要借助太多的代数拓扑学和微分拓扑学内容。尤其是Morse理论，一般很难将其单纯地归类为非线性泛函分析，而且其实Morse理论在应用的时候有颇多难度，遂不打算介绍。畴数理论虽然也是来自拓扑学，但比Morse理论的适用范围更广，可能会讲。
-论实践中的变分问题-
许多人都很熟悉变分法。我们在弹性力学、图像处理、机器学习、控制论、理论经济学、兵器科学、航空航天技术、血管医学、规范场论、管理科学与工程、数理统计……中都会看见它的身影。对数学自身而言，我们在偏微分方程、微分几何、最优化理论中都会接触变分法。
现仅举三个最简单的例子。
【Example1】第一个例子来自于我的本家——理论经济学中的一个模型：Romer模型
我们用 代表劳动力。
表示人力资本（在Romer模型中，我们把人力资本和劳动力区分开）。
表示技术水平。
表示直接用于生产“技术”的人力资本，即研发人员，而
表示直接用于生产物质财富的人力资本。
表示资本。用
代表生产总值（社会财富）。
表示消费。 其余为参数。
通过最基本的理论推演（当然，理论经济学每一步推演都是要有根据的）我们可以建立一个最优控制问题（一类特殊的变分问题）：
以及初值条件。
罗默模型是一个明显的最优化问题。
当然，经济学中时常还用到所谓动态规划（Bellman方程），其实那也是一个变分问题，只不过是离散形式的罢了。
最优化，就是求函数的极值点/泛函的极值函数 ，而这些都属于临界点。因此，求极值本质上属于临界点理论的一个特例。
【Example2】第二个例子来自于PDE的问题：
考虑一个Poisson方程 ，其中
,边界条件为在
上
。
任取 ,在方程两端同乘以
、作
重积分得：
左端利用Stokes公式，结合边界条件得
事实上，这不过是泛函 的Euler-Lagrange方程罢了。许多情况下，一个PDE就是一个泛函的Euler-Lagrange方程，也就是临界点，但不一定是极值点。这时候，古典变分法（求泛函的极值）往往会失效，因为许多 泛函无上下界，有许多临界点并非泛函的极值点。
【Example3】Riemann流形的测地线问题，考虑弧长
这个泛函的Euler-Lagrang方程就是测地线方程:
这是我们已经熟知的结论。
大纲
本系列文章将以 变分学为主线，引导读者从线性泛函走向非线性问题。不过，我们需要以下前置课程的基础:
0.复变函数与实变函数
1.泛函分析:
度量空间的一系列拓扑概念:列紧性、紧性、完全有界性。
压缩映射原理。
Hahn-Banach定理及其一系列推论（包括凸集分离定理和弱收敛的Mazur定理）
弱收敛的有关内容。
Baire纲定理及有关推论，如Banach逆算子定理。
Hilbert空间的投影定理及Fourier展开。
2.微分方程:
常微分方程定性理论的初步内容（不用涉及混沌）
偏微分方程的基本分类，理解分离变量法的原理，掌握积分变换法，了解格林函数法即可。
3.拓扑与几何
了解最基本的点集拓扑、流形论、向量分析的基本概念，协变导数的计算以及Stokes公式即可。由于我们不打算介绍无限维Morse理论，因此对同调论不作要求。
目录：
来自远方的飘泊客：非线性泛函分析导论（一）:变分法与Sobolev空间?zhuanlan.zhihu.com
来自远方的飘泊客：非线性泛函分析导论（二）：变分问题的拓扑结构?zhuanlan.zhihu.com
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7 条评论
怎么感觉这些东西跟金融数学的知识体系差别好大。。。
因为金融数学根本就是另外一个知识体系：随机数学，它是概率统计+实变函数论→随机过程+线性泛函→随机分析
这样的话，好希望您能另开一贴说说数理经济学大概在干些什么呀
内容引起极度舒适！
楼楼请问“许多情况下，一个PDE就是一个泛函的Euler-Lagrange方程，也就是临界点，但不一定是极值点。“这句没太理解，是不是在说这个意思：许多情况下，一个PDE就是一个泛函的Euler-Lagrange方程，PDE的解一定是这个Euler-Lagrange方程的极值点，但Euler-Lagrange方程有非常多的临界点，它们未必就是这个PDE的极值点。