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保凸运算：简单来说，保凸运算是指原来的集合 C C C是一个凸集，然后让这个凸集 C C C经过一些变换让其仍然为凸集，也即利用凸集构造凸集。保凸运算包括以下三个方面
①：交集是保凸的
- 这一点在“凸集的性质”中已有说明
②：仿射变换是保凸的，包括
- 缩放和移位是凸的
- 两个凸集的和是凸的
- 两个凸集的直积是凸的
- 线性矩阵不等式的解是凸的
③：透视变换是保凸的
- 线段经过透视变换后是凸的
- 凸集的反透视变换仍是凸的
④：分式线性变换是保凸的
一：仿射变换的保凸性
（1）仿射变换的保凸性
仿射变换的保凸性：假设 f : R n → R m f:\\R^n\\rightarrow\\R^m f:Rn→Rm是仿射变换（ x ∈ R n x\\in\\R^n x∈Rn、 f ( x ) ∈ R m f(x)\\in\\R^m f(x)∈Rm），即 f ( x ) = A x + b f(x)=Ax+b f(x)=Ax+b（也即仿射变换是线性函数和常量的组合，其中 A ∈ R m × n A\\in \\R^m×n A∈Rm×n、 b ∈ R m b\\in\\R^m b∈Rm、 A x ∈ R m × 1 Ax\\in\\R^m×1 Ax∈Rm×1），则
- 凸集在 f f f下的像（image）是凸集： S ⊆ R n S\\subseteq R^n S⊆Rn是凸集=> f ( S ) = f ( x ) ∣ x ∈ S f(S)=\\f(x)|x\\in S\\ f(S)=f(x)∣x∈S是凸集
- 凸集在 f f f下的原像是凸集： C ⊆ R m C\\subseteq R^m C⊆Rm是凸集=> f − 1 ( C ) = x ∣ f ( x ) ∈ C f^-1(C)=\\x|f(x)\\in C\\ f−1(C)=x∣f(x)∈C是凸集
例题： 设 x 1 , x 2 ∈ S x_1, x_2\\in S x1,x2∈S（ S S S为凸集）， θ ∈ [ 0 , 1 ] \\theta\\in [0,1] θ∈[0,1]，则有凸组合 θ x 1 + ( 1 − θ ) x 2 ∈ S \\theta x_1+(1-\\theta)x_2 \\in S θx1+(1−θ)x2∈S；现证明经仿射变换 f f f下所形成的集合 f ( x ) f(x) f(x)为凸集
- 也即证明：对于 x 1 , x 2 x_1, x_2 x1,x2，有 f ( x 1 ) , f ( x 2 ) ∈ f f(x_1),f(x_2)\\in f f(x1),f(x2)∈f，有 θ ∈ [ 0 , 1 ] \\theta\\in [0,1] θ∈[0,1]，是否有 θ f ( x 1 ) + ( 1 − θ ) f ( x 2 ) ∈ f \\theta f(x_1)+(1-\\theta)f(x_2) \\in f θf(x1)+(1−θ)f(x2)∈f成立
- 证明：由于 f ( x ) = A x + b f(x)=Ax+b f(x)=Ax+b，故上上式可转换为 θ ( A x 1 + b ) + ( 1 − θ ) ( A x 2 + b ) = A [ θ x 1 + ( 1 − θ ) x 2 ] + b ( θ ) + ( 1 − θ ) = A [ θ x 1 + ( 1 − θ ) x 2 ] + b \\theta(Ax_1+b)+(1-\\theta)(Ax_2+b)=A[\\theta x_1+(1-\\theta)x_2]+b(\\theta)+(1-\\theta)=A[\\theta x_1+(1-\\theta)x_2]+b θ(Ax1+b)+(1−θ)(Ax2+b)=A[θx1+(1−θ)x2]+b(θ)+(1−θ)=A[θx1+(1−θ)x2]+b，由于 θ x 1 + ( 1 − θ ) x 2 ∈ S \\theta x_1+(1-\\theta)x_2\\in S θx1+(1−θ)x2∈S，故 A [ θ x 1 + ( 1 − θ ) x 2 ] + b ∈ f A[\\theta x_1+(1-\\theta)x_2]+b\\in f A[θx1+(1−θ)x2]+b∈f
仿射变换也可通过下面的例子理解
（2）例子
缩放和移位是保凸的：如果 S ⊆ R n S \\subseteq R^n S⊆Rn是凸集， α ∈ R \\alpha \\in R α∈R， a ∈ R a \\in R a∈R，那么缩放和移位后的 α S \\alpha S αS和 S + a S+a S+a也是凸集
- α S = α x ∣ x ∈ S \\alpha S=\\\\alpha x|x \\in S\\ αS=αx∣x∈S
- S + a = x + a ∣ x ∈ S S+a=\\x +a |x \\in S\\ S+a=x+a∣x∈S
两个凸集的和是凸的：两个集合的和被定义为
S
1
+
S
2
=
x
+
y
∣
x
∈
S
1
,
y
∈
S
2
S_1+S_2=\\x+y | x\\in S_1, y\\in S_2\\
S凸优化——保凸运算
本文将描述一些保凸运算，利用它们，我们可以从凸集构造出其他凸集。目录1交集2仿射函数3线性分式及透视函数 3.1线性分式函数1交集 交集运算是保凸的：如果和是凸集。这个性质可以扩展到无穷个集... 查看详情 1.首先我们需要了解Java语言中的运算符是分为俩部分的。 一：按功能分为：赋值运算符、算术运算符、关系运算符和逻辑运算符 二：按操作数的个数分类：单目运算符、双目运算符、三目运算符2.就... 查看详情 1.首先我们需要了解Java语言中的运算符是分为俩部分的。 一：按功能分为：赋值运算符、算术运算符、关系运算符和逻辑运算符 二：按操作数的个数分类：单目运算符、双目运算符、三目运算符2.就... 查看详情 文章目录一：最基本的逻辑运算（1）与、或、非（2）与非、或非、异或、同或二：一位全加器三：串行加法器和并行加法器之前的学习我们一直在和数打交道，数字运算过程中一直离不开一个十分... 查看详情 第四章交换机划分VLAN配置本文讲述交换机VLAN问题，实验为同VLAN可通信，不同VLAN无法通信 查看详情 packagecom.hanqi.kejian;//计算器制作（方法重载例题讲解）publicclassjisuanqi0914{ //属性 //型号、品牌、大小....//方法重载 //方法 //加法运算 publicintjia(inta,intb)//整数加法 { returna+b; } //这种是错误情况// publicintjia(intx,inty)//整数加法// {// 查看详情 这一节前边的不怎么懂，给我的感觉好像是C语言的东西一样。。后边的就是几个查找文件的命令和用法 一、环境变量1.变量要解释环境变量，得先明白变量是什么，准确的说应该是Shell变量，所谓变量就是计算机中用于记录... 查看详情 文章目录一：关系代数的基本概念二：传统的集合运算（1）并（union）（2）差（except）（3）交（intersection）（4）笛卡尔积（cartersi 查看详情 一、本实验所需容器介绍一个cli端容器，通过调整cli端容器使用的证书，以不同身份来使用cli端容器三个orderere容器——orderer0，orderer1，orderer2四个peer容器——org1的peer0，org1的peer1，org2的peer0，org2的pee... 查看详情 4.4代码复审 代码复审的正确意义是看代码是否存在“代码规范的”的框架内正确地解决问题，软件工程中最基本的复审手段是同伴复审。 1.找出代码错误（编码错误、不符合代码规范） 2.发现逻辑错误，程序编译通... 查看详情 <<第四节法拉第电磁感应定律.ppt>> 查看详情 学习HTML第四节.插入图像全是文字的网页太枯燥了吧，我们来搞个图片上去！<!DOCTYPEhtml><html><head><metacharset="utf-8"><title>我要学HTML---插入图像</title></head><bodystyle="background-color:green; 查看详情 移步到这里近4个月没有更新这个系列。这个系列都是我粗浅的理解，其中我感觉有些的思路并非最优，并不合主流概念，因为我没去学习rbac之类的概念，仅供参考。特别是对于权限设计的处理方式，casbin是尽量用它自己的查询... 查看详情 step1:习题反馈step2:lambda之再议1.lambda是一个表达式2.它没有名称，存储也不是代码块，而是表达式3.它被用作执行很小单元,不能在里面使用条件语句step3：参数总结1.位置匹配func(name)2.关键字匹配func(key=value)3.收集匹配1）元组收集f... 查看详情 一般复合又分为标量复合与矢量复合，它们相对于复合仿射映射来说，条件比较严格。参考凸优化。 查看详情 ...载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。数学中最优化问题的一般表述是求取，使，其中是n维向量，是的可行域，是上的实值函数。凸优化问题是指是闭合的凸集且是上的凸函数的最优化问题，这两个条件任一不满足... 查看详情 java基础第四节(表达式与运算符)
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