正文

于航特训课：第一课

passion27  passion27  2022-10-24  544

关键词：

【主办单位】

蓝桥杯全国软件和信息技术专业人才大赛组委会

【课程时间】

3月4号-3月31号

【特训内容】

7次算法课，大赛特邀专家精讲历届真题及高频算法
直至赛前，资深算法老师群内作业辅导和答疑
全国参赛小伙伴互助带打
第2次课《递归原理与构造技巧》开课时间：2018年3月7日晚上7:30

【课程简介】

《2018蓝桥杯大赛算法特训》是应广大考生需求，由蓝桥杯全国软件和信息技术专业人才大赛组委会主办，聘请大赛资深顾问专家团成员之一于航老师，通过“图文+音视频”多媒体形式提供的蓝桥杯真题常见算法课程，同时还有持续至赛前的微信群作业和辅导答疑。本次课程提供回放。

【课程目标】

课程通过7次课共14课时深入浅出的讲解，帮助学生快速理解和掌握蓝桥杯大赛中常见的算法思维、算法技能和解题思路。同时提供持续至赛前的微信群内作业及辅导答疑，帮助学生提高学习效率、锻炼算法思维。

【课程大纲】

1、暴力破解与实用性优先

暴力破解在大赛及企业应用中的重要性
暴力破解中的实用性原则
逆向解法
枚举法

2、递归原理与构造技巧

递归的重要性
递归与循环的关系
递归的构造技巧
递归出口的考虑
参数设计
间接递归

3、典型问题的递归框架

排列问题
组合计数问题
组合枚举问题
递归设计——条条大路通罗马

4、数学知识的运用

并非数学竞赛
进制问题及其巧妙运用
整数与整除问题
欧几里得扩展定理
有理数表示，大数问题

5、博弈问题的思路

递归搜索的基本框架
当有平局时的考虑
尼姆定理
缓存结果

6、分治法与动态规划

分治思想的重要性
二分法是基础
动态规划问题的求解次序
复杂问题的规划

7、图及其他

图与树的关系和转化
图的基本遍历
利用树的性质
线段树与并查集介绍

技术分享图片

【关于讲师】

于航

中科院计算所
曾于浙江大学电机系实验室、浙大网新、神州泰岳、中科院计算所等从事软件开发或软件技术培训工作，曾在嘉兴电力、福建电信、扬州联通、中石油物探、中国气象局卫星中心等大中型项目中担任项目组长或技术主管。
从第一届蓝桥杯大赛开始至今，作为大赛顾问专家团成员之一，为大赛提供软件开发技术方面的顾问支持，对蓝桥杯大赛有着深刻的影响和了解。
于老师授课风格轻松幽默，对复杂技术难题理解透彻，讲解深入浅出、层次清晰，喜欢以创新的方式呈现问题关键所在。

【购买须知】

该课程为付费系列课程，按课程计划定期更新，每节课程可在开课时直播学习，也可反复回听
购买课程后，请确认您是否已添加小蓝为微信好友，然后私聊小蓝，小蓝将您邀请进入微信算法特训学习群。每次开始上课之前，小蓝会在群里提醒您准备上课
该课程为虚拟内容服务，购买成功后概不退款，敬请原谅
如有其它疑问，可点击左下角“咨询”按钮，与客服沟通后再购买

【常见问题解答】

1. 如果您在报名过程中遇到问题，请点我寻找答案。

2. 如果还不能解决您的问题，请直接问小蓝。

【往期活动】

第九届蓝桥杯（软件类）赛前60天备战分享会

蓝桥杯60天备战分享会问题解答（软件类）

蓝桥杯算法特训第一课【实用性原则】源代码

三月 8, 2018小蓝

【内容简介】
本文章内容为【2018蓝桥杯大赛算法特训（软件）系列课程】第一课【实用性原则】中涉及到的课上例题的代码实现，加入赛前特训获取全部课程内容请联系【小蓝】。

【课程中涉及的源代码】
1. 猜年龄
【问题描述】
美国数学家维纳(N.Wiener)智力早熟，11岁就上了大学。
他曾在1935~1936年应邀来中国清华大学讲学。
一次，他参加某个重要会议，年轻的脸孔引人注目。
于是有人询问他的年龄，他回答说：
“我年龄的立方是个4位数。我年龄的4次方是个6位数。这10个数字正好包含了从0到9这10个数字，每个都恰好出现1次。”
请你推算一下，他当时到底有多年轻。
【源代码】
【JAVA：于航】

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public class A
  public static void main(String[] args)
  for(int i=1; i<100; i++)
  int a = i * i * i;
  int b = a * i;
  if((a+"").length()!=4) continue;
  if((b+"").length()!=6) continue;
  System.out.println(i + " = " + a + " " + b);

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#include
#include

//判断数组里面每一个元素是否相同，相同返回1，不同返回0
int ifDiffInArr(char* arr,int num)

  for (int x = 0; x < num-1; x++)

  for (int y = x + 1; y < num; y++)

  if (arr[x] == arr[y])

  return 1;



  return 0;

//判断数组1和数组2里面每一个元素是否相同，相同返回1，不同返回0
int ifDiffOfArr(char* arr1, int num1,char*arr2,int num2)

  for (int x = 0; x < num1; x++)

  for (int y = 0; y < num2; y++)

  if (arr1[x] == arr2[y])

  return 1;



  return 0;

void main()

  char arr1[4] =  0 ;//保存立方结果4位数的数组
  char arr2[6] =  0 ;//保存4次方结果6位数的数组
  int a, b;//保存立方和4次方的变量
  for (int i = 1; i < 100; i++)//年龄从1到100

  //立方过程
a= i * i * i;
  //把整形转变为数组类型char*
  itoa(a, arr1, 10);
  //判断arr1数组里面的数字是否重复，重复的话就舍掉i，继续判断下一个i++
  if (ifDiffInArr(arr1, 4) == 1)

  continue;


  //4次方过程
b = a * i;
  //把整形转变为数组类型char*
  itoa(b, arr2, 10);
  //判断arr2数组里面的数字是否重复，重复的话就舍掉i，继续判断下一个i++
  if (ifDiffInArr(arr2, 6) == 1)

  continue;


  //判断数组arr1和arr2里面的数字是否重复，重复的话就舍掉i，继续判断下一个i++；不重复的话就是我们要找的年龄，并打印出来。
  if (ifDiffOfArr(arr1,4,arr2,6)==1)

  continue;

  else

  printf("计算结果如下：\n\n");
  printf("数学家维纳的年龄是：%d\n\n", i);
  printf("年龄的立方是%d， \n年龄的4次方是：%d。", a, b);

2. 罗马数字
【问题描述】
古罗马帝国开创了辉煌的人类文明，但他们的数字表示法的确有些繁琐，尤其在表示大数的时候，现在看起来简直不能忍受，所以在现代很少使用了。
之所以这样，不是因为发明表示法的人的智力的问题，而是因为一个宗教的原因，当时的宗教禁止在数字中出现0的概念！
罗马数字的表示主要依赖以下几个基本符号：

I –> 1
V –> 5
X –> 10
L –> 50
C –> 100
D –> 500
M –> 1000

这里，我们只介绍一下1000以内的数字的表示法。
单个符号重复多少次，就表示多少倍。最多重复3次。
比如：CCC表示300 XX表示20，但150并不用LLL表示，这个规则仅适用于I X C M。

如果相邻级别的大单位在右，小单位在左，表示大单位中扣除小单位。
比如：IX表示9 IV表示4 XL表示40
49 = XLIX

更多的示例参见下表，你找到规律了吗？
I = 1
II = 2
III = 3
IV = 4
V = 5
VI = 6
VII = 7
VIII = 8
IX = 9
X = 10
XI = 11
XII = 12
XIII = 13
XIV = 14
XV = 15
XVI = 16
XVII = 17
XVIII = 18
XIX = 19
XX = 20
XXI = 21
XXII = 22
XXIX = 29
XXX = 30
XXXIV = 34
XXXV = 35
XXXIX = 39
XL = 40
L = 50
LI = 51
LV = 55
LX = 60
LXV = 65
LXXX = 80
XC = 90
XCIII = 93
XCV = 95
XCVIII = 98
XCIX = 99
C = 100
CC = 200
CCC = 300
CD = 400
D = 500
DC = 600
DCC = 700
DCCC = 800
CM = 900
CMXCIX = 999

本题目的要求是：请编写程序，由用户输入若干个罗马数字串，程序输出对应的十进制表示。

输入格式是：第一行是整数n,表示接下来有n个罗马数字(n<100)。
以后每行一个罗马数字。罗马数字大小不超过999。
要求程序输出n行，就是罗马数字对应的十进制数据。

例如，用户输入：
3
LXXX
XCIII
DCCII

则程序应该输出：
80
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【源代码】
【JAVA：于航】

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//罗马数字的枚举解法
public class A

  public static int romeNum(String s)
  int sum = 0;
  for(int i=0; i<s.length(); i++) char c = s.charAt(i); if(c==‘I‘) sum += 1; if(c==‘V‘) sum += 5; if(c==‘X‘) sum += 10; if(c==‘L‘) sum += 50; if(c==‘C‘) sum += 100; if(c==‘D‘) sum += 500; if(c==‘M‘) sum += 1000;  // 补偿 if(s.indexOf("IV")>=0) sum -= 2;
  if(s.indexOf("IX")>=0) sum -= 2;
  if(s.indexOf("XL")>=0) sum -= 20;
  if(s.indexOf("XC")>=0) sum -= 20;
  if(s.indexOf("CD")>=0) sum -= 200;
  if(s.indexOf("CM")>=0) sum -= 200;

  return sum;


  public static void main(String[] args)
  System.out.println(romeNum("MCCCXIV"));
  System.out.println(romeNum("CMXCIX"));


//罗马数字的逆向解法
public class NiXiang

  static String NumRoman(int x)
  int a = x / 1000;  // 千位
  int b = x % 1000 / 100;  //百位
  int c = x % 100 / 10;  // 十位
  int d = x % 10;

  String s = "";

  if(a==1) s += "M";
  if(a==2) s += "MM";
  if(a==3) s += "MMM";

  if(b==1) s += "C";
  if(b==2) s += "CC";
  if(b==3) s += "CCC";
  if(b==4) s += "CD";
  if(b==5) s += "D";
  if(b==6) s += "DC";
  if(b==7) s += "DCC";
  if(b==8) s += "DCCC";
  if(b==9) s += "CM";

  if(c==1) s += "X";
  if(c==2) s += "XX";
  if(c==3) s += "XXX";
  if(c==4) s += "XL";
  if(c==5) s += "L";

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#include
#include
#include
// 罗马数字的枚举解法
int romeNum(char* s,int num)

  int sum = 0;
  for (int i = 0; i < num; i++)

  char c = s[i];
  if (c == ‘I‘)
sum += 1;
  if (c == ‘V‘)
sum += 5;
  if (c == ‘X‘)
sum += 10;
  if (c == ‘L‘)
sum += 50;
  if (c == ‘C‘)
sum += 100;
  if (c == ‘D‘)
sum += 500;
  if (c == ‘M‘)
sum += 1000;


  // 补偿
  if (strstr(s,"IV") != NULL)
sum -= 2;
  if (strstr(s, "IX") != NULL)
sum -= 2;
  if (strstr(s, "XL") != NULL)
sum -= 20;
  if (strstr(s, "XC") != NULL)
sum -= 20;
  if (strstr(s, "CD") != NULL)
sum -= 200;
  if (strstr(s, "CM") != NULL)
sum -= 200;

  return sum;

void main()



  printf("%d\n",romeNum("MCCCXIV",7));
  printf("%d\n", romeNum("CMXCIX", 6));

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include
#include
#include
char s[10];

char* NumRoman(int x)

  int a = x / 1000;  //
  int b = x % 1000 / 100;  //
  int c = x % 100 / 10;  //
  int d = x % 10;

  for (int x = 0; x < 1024;x++)

s[x] = ‘0‘;


  if (a == 1)
  strcat(s, "M");
  if (a == 2)
  strcat(s, "MM");
  if (a == 3)
  strcat(s, "MMM");

  if (b == 1)
  strcat(s, "C");
  if (b == 2)
  strcat(s, "CC");
  if (b == 3)
  strcat(s, "CCC");
  if (b == 4)
  strcat(s, "CD");
  if (b == 5)
  strcat(s, "D");
  if (b == 6)
  strcat(s, "DC");
  if (b == 7)
  strcat(s, "DCC");
  if (b == 8)
  strcat(s, "DCCC");
  if (b == 9)
  strcat(s, "CM");

  if (c == 1)
  strcat(s, "X");
  if (c == 2)
  strcat(s, "XX");
  if (c == 3)
  strcat(s, "XXX");
  if (c == 4)
  strcat(s, "XL");
  if (c == 5)
  strcat(s, "L");
  if (c == 6);
  strcat(s, "LX");
  if (c == 7)
  strcat(s, "LXX");
  if (c == 8)
  strcat(s, "LXXX");
  if (c == 9)
  strcat(s, "XC");

  if (d == 1)
  strcat(s, "I");
  if (d == 2)
  strcat(s, "II");
  if (d == 3)
  strcat(s, "III");
  if (d == 4)
  strcat(s, "IV");
  if (d == 5)
  strcat(s, "V");
  if (d == 6)
  strcat(s, "VI");
  if (d == 7)
  strcat(s, "VII"

3. 九宫幻方
【问题描述】

小明最近在教邻居家的小朋友小学奥数，而最近正好讲述到了三阶幻方这个部分。
三阶幻方指的是将1~9不重复的填入一个3*3的矩阵当中，使得每一行、每一列和每一条对角线的和都是相同的。
三阶幻方又被称作九宫格，在小学奥数里有一句非常有名的口诀：
“二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居其中”，
通过这样的一句口诀就能够非常完美的构造出一个九宫格来。
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3 5 7
8 1 6
有意思的是，所有的三阶幻方，都可以通过这样一个九宫格进行若干镜像和旋转操作之后得到。
现在小明准备将一个三阶幻方（不一定是上图中的那个）中的一些数抹掉，交给邻居家的小朋友来进行还原，并且希望她能够判断出究竟是不是只有一个解。

而你呢，也被小明交付了同样的任务，但是不同的是，你需要写一个程序~

输入格式：
输入仅包含单组测试数据。
每组测试数据为一个3*3的矩阵，其中为0的部分表示被小明抹去的部分。
对于100%的数据，满足给出的矩阵至少能还原出一组可行的三阶幻方。

输出格式：
如果仅能还原出一组可行的三阶幻方，则将其输出，否则输出“Too Many”（不包含引号）。

样例输入
0 7 2
0 5 0
0 3 0

样例输出
6 7 2
1 5 9
8 3 4
【源代码】
【JAVA：于航】

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/*
4 9 2
3 5 7
8 1 6
"492357816"

8 3 4
1 5 9
6 7 2
"834159672"

0 7 2
0 5 0
0 3 0

*/
public class A

  static boolean test(String std, String s)
  for(int i=0; i<std.length(); i++)
  if(std.charAt(i) == s.charAt(i)) continue;
  if(s.charAt(i)==‘0‘) continue;
  return false;


  return true;


  public static void main(String[] args)

  String s = "072050030";

  String[] ss =
  "492357816",
  "834159672",
  "618753294",
  "276951438",
  "294753618",
  "438951276",
  "816357492",
  "672159834"
  ;

  for(int i=0; i<ss.length; i++)
  if(test(ss[i],s))
  System.out.println(ss[i].substring(0,3));
  System.out.println(ss[i].substring(3,6));
  System.out.println(ss[i].substring(6,9));

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#include
#include

int test(char* std, int num1, char* s, int num2)

  for (int i = 0; i < num1; i++)

  if (std[i] == s[i])
  continue;
  if (s[i] == ‘0‘)
  continue;
  return 0;

  return 1;

char * myItoa(int num)

  char * p = malloc(1024 * 1);
  itoa(num,p, 10);
  return p;

void main3()

  char* arr1 = myItoa(172050030);
arr1[0] = ‘0‘;

  char *  p0 = myItoa(492357816);
  char *  p1 = myItoa(834159672);
  char *  p2 = myItoa(618753294);
  char *  p3 = myItoa(276951438);
  char *  p4 = myItoa(294753618);
  char *  p5 = myItoa(438951276);
  char *  p6 = myItoa(816357492);
  char *  p7 = myItoa(672159834);
  char *  pp[8] =  p0, p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7 ;

  for (int i = 0; i < 8; i++)

  if (test(pp[i], 7, arr1,7))

  for (int x = 0; x < 3;x++)

  printf("%c ", pp[i][x]);

  printf("\n");
  for (int x = 3; x < 6; x++)

  printf("%c ", pp[i][x]);

  printf("\n");
  for (int x = 6; x < 9; x++)

  printf("%c ", pp[i][x]);

  printf("\n");



  for (int i = 0; i < 8; i++)

  if (pp[i] != NULL)

  free(pp[i]);

4. 魔方旋转
【问题描述】
魔方可以对它的6个面自由旋转。

我们来操作一个2阶魔方（如图1所示）：
为了描述方便，我们为它建立了坐标系。

各个面的初始状态如下：
x轴正向：绿
x轴反向：蓝
y轴正向：红
y轴反向：橙
z轴正向：白
z轴反向：黄

假设我们规定，只能对该魔方进行3种操作。分别标记为：
x 表示在x轴正向做顺时针旋转
y 表示在y轴正向做顺时针旋转
z 表示在z轴正向做顺时针旋转

xyz 则表示顺序执行x,y,z 3个操作

题目的要求是：
用户从键盘输入一个串，表示操作序列。
程序输出：距离我们最近的那个小方块的3个面的颜色。
顺序是：x面，y面，z面。

例如：在初始状态，应该输出：
绿红白

初始状态下，如果用户输入：
x
则应该输出：
绿白橙

初始状态下，如果用户输入：
zyx
则应该输出：
红白绿
技术分享图片

面的标号
技术分享图片

模仿旋转示意图

【源代码】
【JAVA：于航】

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/*
二阶魔方的各个面给一个唯一编号：

16 17
19 18
-------
12 13 | 0 1 | 4 5 | 8 9
15 14 | 3 2 | 7 6 | 11 10
-------
20 21
23 22

上
左前右后
下

x操作：(0,1,2,3) (4,21,14,19) (7,20,13,18)
y操作：(4,5,6,7) (1,17,11,21) (2,18,8,22)
z操作：(16,17,18,19) (0,12,8,4) (1,13,9,5)
*/

public class A

  static int[][] transx=0,1,2,3,4,21,14,19,7,20,13,18;
  static int[][] transy=4,5,6,7,1,17,11,21,2,18,8,22;
  static int[][] transz=16,17,18,19,0,12,8,4,1,13,9,5;

  static char[] op(char[] a,int[][] trans)
  char[] b = java.util.Arrays.copyOf(a,a.length);

  for(int i=0; i<trans.length; i++)
b[trans[i][1]] = a[trans[i][0]];
b[trans[i][2]] = a[trans[i][1]];
b[trans[i][3]] = a[trans[i][2]];
b[trans[i][0]] = a[trans[i][3]];

  return b;


  static char[] op(char[] a, String s)
  char[] b = java.util.Arrays.copyOf(a, a.length);
  for(int i=0; i<s.length(); i++)
  if(s.charAt(i)==‘x‘) b = op(b, transx);
  if(s.charAt(i)==‘y‘) b = op(b, transy);
  if(s.charAt(i)==‘z‘) b = op(b, transz);

  return b;


  public static void main(String[] args)
  char[] init =  ‘绿‘,‘绿‘,‘绿‘,‘绿‘,
  ‘红‘,‘红‘,‘红‘,‘红‘,
  ‘蓝‘,‘蓝‘,‘蓝‘,‘蓝‘,
  ‘橙‘,‘橙‘,‘橙‘,‘橙‘,
  ‘白‘,‘白‘,‘白‘,‘白‘,
  ‘黄‘,‘黄‘,‘黄‘,‘黄‘,;

  //char[] b = op(init, "xyxyzzxyxyzz");
  char[] b = op(init, "x");
  System.out.println(""+b[1]+b[4]+b[18]);

【C语言：志愿者】

#include
#include
#include

int transx[4][4] =   0, 1, 2, 3 ,  4, 21, 14, 19 ,  7, 20, 13, 18  ;
int transy[4][4] =   4, 5, 6, 7 ,  1, 17, 11, 21 ,  2, 18, 8, 22  ;
int transz[4][4] =   16, 17, 18, 19 ,  0, 12, 8, 4 ,  1, 13, 9, 5  ;

char * op(char *p,int num1,int pp[4][4],int num2)

  char * arrb = malloc(num1*sizeof(char));
  strncpy(arrb, p, num1);

  for (int i = 0; i < num2; i++)

arrb[pp[i][1]] = p[pp[i][0]];
arrb[pp[i][2]] = p[pp[i][1]];
arrb[pp[i][3]] = p[pp[i][2]];
arrb[pp[i][0]] = p[pp[i][3]];

  return arrb;

void printfCh(char a)

  switch (a)

  case ‘0‘:
  printf("绿");
  break;
  case ‘1‘:
  printf("红");
  break;
  case ‘2‘:
  printf("蓝");
  break;
  case ‘3‘:
  printf("橙");
  break;
  case ‘4‘:
  printf("白");
  break;
  case ‘5‘:
  printf("黄");
  break;
  default:
  break;


char * op1(char *a, int num1, char *s,int num2)

  char * arrb = malloc(num1*sizeof(char));
  strncpy(arrb, a, num1);

  for (int i = 0; i < num2; i++)

  if (s[i] == ‘x‘)
arrb = op(arrb

【课后作业】
【信用卡号的验证】

当你输入信用卡号码的时候，有没有担心输错了而造成损失呢？其实可以不必这么担心，因为并不是一个随便的信用卡号码都是合法的，它必须通过Luhn算法来验证通过。
该校验的过程：
1、从卡号最后一位数字开始，逆向将奇数位(1、3、5等等)相加。
2、从卡号最后一位数字开始，逆向将偶数位数字，先乘以2（如果乘积为两位数，则将其减去9），再求和。
3、将奇数位总和加上偶数位总和，结果应该可以被10整除。
例如，卡号是：5432123456788881

则，奇数位和=35
偶数位乘以2（有些要减去9）的结果：1 6 2 6 1 5 7 7，求和=35。
最后35+35=70 可以被10整除，认定校验通过。

请编写一个程序，从键盘输入卡号，然后判断是否校验通过。通过显示：“成功”，否则显示“失败”。
比如，用户输入：356827027232780
程序输出：成功

【参考测试用例】
356406010024817 成功
358973017867744 成功
356827027232781 失败
306406010024817 失败
358973017867754 失败

【代码示例】

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public class A

  // s: 待验证的卡号
  static boolean f(String s)
  int sum = 0;
  for(int i=0; i<s.length(); i++) int x = s.charAt(s.length()-i-1)-‘0‘; if(i%2==1) x = x * 2; if(x>=10) x -= 9;

sum += x;

  return sum % 10 == 0;


  public static void main(String[] args)
  System.out.println(f("356827027232780"));
  System.out.println(f("356406010024817"));
  System.out.println(f("358973017867744"));
  System.out.println(f("356827027232781"));
  System.out.println(f("306406010024817"));
  System.out.println(f("358973017867754"));


public class B

  // s: 待验证的卡号
  static boolean f(String s)
  int[] EV = 0,2,4,6,8,1,3,5,7,9;
  int sum = 0;
  for(int i=0; i<s.length(); i++)
  int x = s.charAt(s.length()-i-1)-‘0‘;
  if(i%2==1) x = EV[x];
sum += x;

  return sum % 10 == 0;


  public static void main(String[] args)
  System.out.println(f("356827027232780"));
  System.out.println(f("356406010024817"));
  System.out.println(f("358973017867744"));
  System.out.println(f("356827027232781"));
  System.out.println(f("306406010024817"));
  System.out.println(f("358973017867754"));

如果您需要更多课程内容和讲解视频，请联系小蓝

蓝桥杯算法特训第二课【递归原理与构造技巧】源代码

三月 7, 2018小蓝

【内容简介】
本文章内容为【2018蓝桥杯大赛算法特训（软件）系列课程】第二课【递归原理与构造技巧】中涉及到的课上例题的代码实现，加入赛前算法特训获取全部课程内容请联系【小蓝】。

【课程中涉及的源代码】
1. 串的翻转
【问题描述】
【源代码】
【JAVA：于航】

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public class A

  static String f(String s)
  if(s.length()<=1) return s;
  return f(s.substring(1)) + s.charAt(0);


  public static void main(String[] args)
  System.out.println(f("abcde"));

【C：志愿者】

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#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include
#include
#include

char * f(char * s, int num)

  if (num <= 1)

  return s;

  else

  char *p = (char *)malloc(num+1);
  memset(p, 0, num+1);
  strcpy(p, s+1);
  char *pp = f(p, num-1);
  strcpy(p, pp);
  if (p!=pp)
  free(pp);
  strncpy(p+num-1,s,1);
  return p;


void main()

  char arr[100] = "abcde";
  printf("%s", f(arr, 5));

2. 循环改递归
【问题描述】
【源代码】
【JAVA：于航】

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public class A

  static void f(int a, int b)
  for(int i=a; i<=b; i++)
  System.out.println(i);



  static void g(int a, int b)
  if(a<b) g(a,b-1);
  System.out.println(b);


  public static void main(String[] args)
  //f(1,10);
g(1,10);

【C语言：志愿者】

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#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include
#include
#include

void f2(int a, int b)

  for (int i = a; i <= b; i++)
  printf("%d ",i);


void g2(int a, int b)

  if (a < b)
g2(a, b - 1);
  printf("%d ",b);

void main()

  //f2(1,10);
g2(1, 10);

3. 出栈次序
【问题描述】
X星球特别讲究秩序，所有道路都是单行线。
一个甲壳虫车队，共16辆车，按照编号先后发车，夹在其它车流中，缓缓前行。
路边有个死胡同，只能容一辆车通过，是临时的检查站，如图所示。
技术分享图片
X星球太死板，要求每辆路过的车必须进入检查站，也可能不检查就放行，也可能仔细检查。
如果车辆进入检查站和离开的次序可以任意交错。那么，该车队再次上路后，可能的次序有多少种？
为了方便起见，假设检查站可容纳任意数量的汽车。
显然，如果车队只有1辆车，可能次序1种；2辆车可能次序2种；3辆车可能次序5种。
【源代码】
【JAVA：于航】

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/*
如果进栈次序为：1 2 3 4 5 。。。
出栈次序有多少种情况？

*/

public class A

  // n 个等着进栈，栈中有m个
  static int f(int n, int m)

  if(n==0) return 1;
  if(m==0) return f(n-1,1);
  return f(n,m-1) + f(n-1, m+1);


  static int f(int n)

  return f(n, 0);


  public static void main(String[] args)

  for(int i=1; i<17; i++)
  System.out.println(i + ": " + f(i));

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#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include
#include
/*
如果进栈次序为：1 2 3 4 5 。。。
出栈次序有多少种情况？

*/

  // n 个等着进栈，栈中有m个
  int f3(int n, int m)

  if (n == 0)
  return 1;
  if (m == 0)
  return f3(n - 1, 1);
  return
f3(n, m - 1) + f3(n - 1, m + 1);


  int f5(int n)

  return f3(n, 0);


  void main()

  for (int i = 1; i<17; i++)

  printf("%d : %d \n", i, f5(i));

4. 第39级台阶
【问题描述】

小明刚刚看完电影《第39级台阶》。离开电影院的时候，他数了数礼堂前的台阶数，恰好是39级!
站在台阶前，他突然又想着一个问题：
如果我每一步只能迈上1个或2个台阶。先迈左脚，然后左右交替，最后一步是迈右脚，也就是说一共要走偶数步。那么，上完39级台阶，有多少种不同的上法呢？
请你利用计算机的优势，帮助小明寻找答案。

【源代码】
【JAVA：于航】

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public class A

  // 奇数步
  static long g(int n)

  if(n==0) return 0;
  if(n==1) return 1;
  //if(n==2) return 1;

  return f(n-1) + f(n-2);


  // 偶数步
  static long f(int n)

  if(n==0) return 1;
  if(n==1) return 0;
  //if(n==2) return 1;

  return g(n-1) + g(n-2);


  public static void main(String[] args)

  System.out.println(f(5));
  System.out.println(f(39));

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#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include
#include
#include

long ff(int n);
  // 奇数步
long gg(int n)

  if (n == 0)
  return 0;
  if (n == 1)
  return 1;
  /*if(n==2)
return 1;*/
  return ff(n - 1) + ff(n - 2);

  // 偶数步
long ff(int n)

  if (n == 0)
  return 1;
  if (n == 1)
  return 0;
  /*if(n==2)
return 1;*/
  return gg(n - 1) + gg(n - 2);

void main()

  printf("%d \n",ff(5));
  printf("%d ", ff(39));

5. 算式填符号
【问题描述】

匪警请拨110,即使手机欠费也可拨通！
为了保障社会秩序，保护人民群众生命财产安全，警察叔叔需要与罪犯斗智斗勇，因而需要经常性地进行体力训练和智力训练！

某批警察叔叔正在进行智力训练：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 110

请看上边的算式，为了使等式成立，需要在数字间填入加号或者减号（可以不填，但不能填入其它符号）。之间没有填入符号的数字组合成一个数，例如：12+34+56+7-8+9 就是一种合格的填法；123+4+5+67-89 是另一个可能的答案。

请你利用计算机的优势，帮助警察叔叔快速找到所有答案。
每个答案占一行。形如：
12+34+56+7-8+9
123+4+5+67-89
……

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【JAVA：于航】

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public class SuanShi

  //a: 参加计算的元素
  //k: 目前考虑的元素下标
  //so: 合成好的结果串
  //goal: 计算目标
  static void f(int[] a, int k, String so, int goal)
  if(k==0)
  if(a[0] == goal)
  System.out.println(a[0]+so);

  return;


f(a,k-1,"+"+a[k]+so, goal-a[k]);
f(a,k-1,"-"+a[k]+so, goal+a[k]);
  int old = a[k-1];
a[k-1] = Integer.parseInt("" + a[k-1] + a[k]);
f(a,k-1,so,goal);
a[k-1] = old;


  public static void main(String[] args)
  int[] a = 1,2,3,4,5,6,7,8,9;
f(a,8,"",110);

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#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include
#include
#include

  //a: 参加计算的元素
  //k: 目前考虑的元素下标
  //so: 合成好的结果串
  //goal: char
  void fk(int *a, int k, char *s, int goal)
  if (k == 0)
  if (a[0] == goal)
  printf("%d%s\n",a[0],s);

  return;


  char * p = malloc(k * 2 + 1);
  memset(p, 0, k * 2 + 1);

p[0] = ‘+‘;
_itoa(a[k], p+1, 10);
  int x = strlen(p);
  strcat(p+x, s);
fk(a, k - 1, p, goal - a[k]);

p[0] = ‘-‘;
fk(a, k - 1, p, goal + a[k]);

  int old = a[k - 1];
  char ak[1024] =  0 ;
  char ak2[1024] =  0 ;
_itoa(a[k - 1], ak, 10);
_itoa(a[k], ak2, 10);
  strcat(ak, ak2);
a[k - 1] = atoi(ak);
  memset(p, 0, k * 2 + 1);
  strcat(p, s);
fk(a, k - 1, p, goal);
a[k - 1] = old;



  void main()

  int a[] =  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ;
fk(a, 8, "", 110);

6. 找钱问题
【问题描述】

公园票价为5角。假设每位游客只持有两种币值的货币：5角、1元。
再假设持有5角的有m人，持有1元的有n人。
由于特殊情况，开始的时候，售票员没有零钱可找。
我们想知道这m+n名游客以什么样的顺序购票则可以顺利完成购票过程。
显然，m < n的时候，无论如何都不能完成；
m>=n的时候，有些情况也不行。比如，第一个购票的乘客就持有1元。
请计算出这m+n名游客所有可能顺利完成购票的不同情况的组合数目。
注意：只关心5角和1元交替出现的次序的不同排列，持有同样币值的两名游客交换位置并不算做一种新的情况来计数。

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//考虑最后一个人
public class ZhaoQian1

  //m: 持有5角的
  //n: 持有1元的
  static int f(int m, int n)
  if(m<n) return 0;
  if(m==1) return 1;
  if(n==0) return 1;

  return f(m-1,n) + f(m,n-1);


  public static void main(String[] args)
  System.out.println(f(2,2));
  System.out.println(f(3,2));
  System.out.println(f(5,3));


//考虑第一个人
public class ZhaoQian2

  //m: 持有5角的
  //n: 持有1元的
  //t: 售票员手里有多少个5角的
  static int f(int m, int n, int t)
  if(m+t<n) return 0; if(m==0) return 1; if(n==0) return 1; int r = f(m-1,n,t+1); if(t>0) r += f(m,n-1,t-1);
  return r;


  public static void main(String[] args)
  System.out.println(f(2,2,0));
  System.out.println(f(3,2,0));
  System.out.println(f(5,3,0));

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#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include
#include
#include
//考虑最后一个人
//m: 持有5角的
//n: 持有1元的
int f6(int m, int n)

  if (m < n)
  return 0;
  if (m == 1)
  return 1;
  if (n == 0)
  return 1;

  return f6(m - 1, n) + f6(m, n - 1);

void main()
  printf("%d \n",f6(2, 2));
  printf("%d \n",f6(3, 2));
  printf("%d \n",f6(5, 3));

//==========================================

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include
#include
#include
//考虑第一个人
//m: 持有5角的
//n: 持有1元的
//t: 售票员手里有多少个5角的
int fn(int m, int n, int t)

  if (m + t<n) return 0; if (m == 0) return 1; if (n == 0) return 1; int r = fn(m - 1, n, t + 1); if (t>0)
r += fn(m, n - 1, t - 1);
  return r;

void main()

  printf("%d \n", fn(2, 2, 0));
  printf("%d \n", fn(3, 2, 0));
  printf("%d \n", fn(5, 3, 0));

7. 振兴中华
【问题描述】
小明参加了学校的趣味运动会，其中的一个项目是：跳格子。
地上画着一些格子，每个格子里写一个字，如下所示：（也可参见下图）

从我做起振
我做起振兴
做起振兴中
起振兴中华
技术分享图片
比赛时，先站在左上角的写着“从”字的格子里，可以横向或纵向跳到相邻的格子里，但不能跳到对角的格子或其它位置。一直要跳到“华”字结束。

要求跳过的路线刚好构成“从我做起振兴中华”这句话。
请你帮助小明算一算他一共有多少种可能的跳跃路线呢？

【源代码】
【JAVA：于航】

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public class A

  static int f(int m, int n)

  if(m==1 || n==1) return 1;

  return f(m-1,n) + f(m,n-1);


  public static void main(String[] args)

  System.out.println(f(5,4));
  //System.out.println(f(3,2));

【C语言：志愿者】

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#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include
#include
#include
int f7(int m, int n)

  if (m == 1 || n == 1)
  return 1;
  return f7(m - 1, n) + f7(m, n - 1);

void main7()

  printf("%d \n", f7(5, 4));
  //printf("%d \n", f7(3, 2));

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