关于并查集的一切全在这里了(代码片段)

并查集初识

如果给你一些顶点，并且告诉你每个顶点的连接关系，你如何才能快速的找出两个顶点是否具有连通性呢？如「图 5. 连通性问题」，该图给出了顶点与顶点之间的连接关系，那么，我们如何让计算机快速定位 (0, 3) , (1, 5), (7, 8) 是否相连呢？此时我们就需要机智的「并查集」数据结构了。很多地方也会称「并查集」为算法，这也没问题。「并查集」的主要作用是用来解决网络中的连通性。这里的「网络」可以是计算机的网络，也可以是人际关系的网络等等。例如，你可以通过「并查集」来判定两个人是否来自同一个祖先。

「并查集」常用术语

• 父节点：顶点的直接父亲节点。如「图5. 连通性问题」中，顶点 3 的父节点是 1；顶点 2 的父节点是 0；顶点 9 的父节点是自己本身 9。
• 根节点：没有父节点的节点，本身可以视为自己的父节点。如「图5. 连通性问题」中，顶点 3 和 2 的根节点都是 0；0 即是自己本身的父节点，也是自己的根节点；顶点 9 的根节点是自己本身 9。

「并查集」基本思想

视频内容摘要：

1. 如何在计算机中设计出「并查集」数据结构
2. 「并查集」的 find 函数；
3. 「并查集」的 union 函数。

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「并查集」的两个实现方式

• Quick Find 实现方式：它指的是实现「并查集」时，find 函数时间复杂度很低为 O(1)O(1)，但对应的 union 函数就需要承担更多的责任，它的时间复杂度为 O(N)O(N)。
• Quick Union 实现方式：它指的是实现「并查集」时，相对于 Quick Find 的实现方式，我们通过降低 union 函数的职责来提高它的效率，但同时，我们也增加了 find 函数的职责。

Quick Find 方式实现并查集

Quick Find工作原理：

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代码实现与验证

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
class UnionFind
private:
    int* root;
    int length;
public:
    UnionFind(int size):length(size)
        root = new int[size];
        for(int i=0;i<length;i++)
            root[i] = i;
        
    
    int find(int x)
        return root[x];
    
    void merge(int x,int y)
        int rootX = find(x);
        int rootY = find(y);
        if(rootX!=rootY)
            for(int i=0;i<length;i++)
                if(root[i]==rootY)
                    root[i] = rootX;
            
        
    
    bool isconnected(int x,int y)
        return find(x)==find(y);
    
;

int main()
    UnionFind a(10);
    a.merge(1,2);
    a.merge(2,5);
    a.merge(5,6);
    a.merge(6,7);
    a.merge(3,8);
    a.merge(8,9);
    cout<<a.isconnected(1,5)<<' '<<a.isconnected(5,7)<<' ';
    cout<<a.isconnected(4,9)<<' ';
    a.merge(9,4);
    cout<<a.isconnected(4,9);

时间复杂度

注：N 为「图」中顶点的个数。

Quick Union 方式实现并查集

Quick Union的工作原理

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为什么 Quick Union 比 Quick Find 更加高效？

总体来说，Quick Union 是比 Quick Find 更加高效的。为什么呢？

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代码实现与验证

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
class UnionFind
private:
    int* root;
    int length;
public:
    UnionFind(int size):length(size)
        root = new int[size];
        for(int i=0;i<length;i++)
            root[i] = i;
        
    
    int find(int x)
        while(x!=root[x])
            x = root[x];
        
        return x;
    
    void merge(int x,int y)
        int rootX = find(x);
        int rootY = find(y);
        if(rootX!=rootY)
            root[rootY] = rootX;
        
    
    bool isconnected(int x,int y)
        return find(x)==find(y);
    
;

int main()
    UnionFind a(10);
    a.merge(1,2);
    a.merge(2,5);
    a.merge(5,6);
    a.merge(6,7);
    a.merge(3,8);
    a.merge(8,9);
    cout<<a.isconnected(1,5)<<' '<<a.isconnected(5,7)<<' ';
    cout<<a.isconnected(4,9)<<' ';
    a.merge(9,4);
    cout<<a.isconnected(4,9);

时间复杂度

注：N 为「图」中顶点的个数，H 为「树」的高度。

按秩合并优化并查集

小伙伴看到这里的时候，我们其实已经实现了 2 种「并查集」。但它们都有一个很大的缺点，这个缺点就是通过 merge 函数连接顶点之后，可能所有顶点连成一条线形成「图 5. 一条线的图」，这就是我们 find 函数在最坏的情况下的样子。那么我们有办法解决吗？

当然，伟大的科学家已经给出了解决方案，就是按秩合并。这里的「秩」可以理解为「秩序」。之前我们在 merge 的时候，我们是随机选择 x 和 y 中的一个根节点/父节点作为另一个顶点的根节点。但是在「按秩合并」中，我们是按照「某种秩序」选择一个父节点。

这里的「秩」指的是每个顶点所处的高度。我们每次 merge 两个顶点的时候，选择根节点的时候不是随机的选择某个顶点的根节点，而是将「秩」大的那个根节点作为两个顶点的根节点，换句话说，我们将低的树合并到高的树之下，将高的树的根节点作为两个顶点的根节点。这样，我们就避免了所有的顶点连成一条线，这就是按秩合并优化的「并查集」。

视频讲解

视频链接

代码实现与验证

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
class UnionFind
private:
    int* root;
    int* rank;
    int length;
public:
    UnionFind(int size):length(size)
        root = new int[size];
        rank = new int[size];
        for(int i=0;i<length;i++)
            root[i] = i;
            rank[i] = 1;
        
    
    int find(int x)
        while(x!=root[x])
            x = root[x];
        
        return x;
    
    void merge(int x,int y)
        int rootX = find(x);
        int rootY = find(y);
        //高度小的树被高度大的合并，如果高度一致合并后高度增加
        if(rootX!=rootY)
            if(rank[rootX]>rank[rootY])
                root[rootY] = rootX;
             else if(rank[rootX]<rank[rootY])
                root[rootX] = rootY;
            else
                root[rootY] = rootX;
                rank[rootX]++;
            
        
    
    bool isconnected(int x,int y)
        return find(x)==find(y);
    
;

int main()
    UnionFind a(10);
    a.merge(1,2);
    a.merge(2,5);
    a.merge(5,6);
    a.merge(6,7);
    a.merge(3,8);
    a.merge(8,9);
    cout<<a.isconnected(1,5)<<' '<<a.isconnected(5,7)<<' ';
    cout<<a.isconnected(4,9)<<' ';
    a.merge(9,4);
    cout<<a.isconnected(4,9);

注：N 为「图」中顶点的个数。

路径压缩优化的并查集

从前面的「并查集」实现方式中，我们不难看出，要想找到一个元素的根节点，需要沿着它的父亲节点的足迹一直遍历下去，直到找到它的根节点为止。如果下次再查找同一个元素的根节点，我们还是要做相同的操作。那我们有没有什么办法将它升级优化下呢？

答案是可以的！如果我们在找到根节点之后，将所有遍历过的元素的父节点都改成根节点，那么我们下次再查询到相同元素的时候，我们就仅仅只需要遍历两个元素就可以找到它的根节点了，这是非常高效的实现方式。那么问题来了，我们如何将所有遍历过的元素的父节点都改成根节点呢？这里就要拿出「递归」算法了。这种优化我们称之为「路径压缩」优化，它是对 find 函数的一种优化。

视频讲解

视频链接

实际路径压缩应该还有一种迭代的方式，此视频未提到。

代码实现(路径压缩+按秩合并)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
class UnionFind
private:
    int* root;
// 添加了 rank 数组来记录每个顶点的高度，也就是每个顶点的「秩」
    int* rank;
    int length;
public:
    UnionFind(int size):length(size)
        root = new int[size];
        rank = new int[size];
        for(int i=0;i<length;i++)
            root[i] = i;
            rank[i] = 1;
        
    
    int find(int x)
        //递归方式
        if(x==root[x])
            return x;
        return root[x]=find(root[x]);
        /*迭代方式
        int cur = x;
        while(cur!=root[cur])
            root[cur] = root[root[cur]];
            cur = root[cur];
        
        return cur;*/
    
    // 按秩合并优化的 merge 函数
    void merge(int x,int y)
        int rootX = find(x);
        int rootY = find(y);
        //高度小的树被高度大的合并，如果高度一致合并后高度增加
        if(rootX!=rootY)
            if(rank[rootX]>rank[rootY])
                root[rootY] = rootX;
             else if(rank[rootX]<rank[rootY])
                root[rootX] = rootY;
            else
                root[rootY] = rootX;
                rank[rootX]++;
            
        
    
    bool isconnected(int x,int y)
        return find(x)==find(y);
    
;

int main()
    UnionFind a(10);
    a.merge(1,2);
    a.merge(2,5);
    a.merge(5,6);
    a.merge(6,7);
    a.merge(3,8);
    a.merge(8,9);
    cout<<a.isconnected(1,5)<<' '<<a.isconnected(5,7)<<' ';
    cout<<a.isconnected(4,9)<<' ';
    a.merge(9,4);
    cout<<a.isconnected(4,9);

注：N 为「图」中顶点的个数。

综合运用例题

省份数量

解题代码

这效率yyds！

class Solution 
public:
    int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected) 
        int n = isConnected.size();
        root = new int[n];
        rank = new int[n];
        for(int i=0;i<n;i++)
            root[i] = i;
            rank[i] = 1;
        
        cnt = n;
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=i+1;j<n;j++)
                if(isConnected[i][j])
                    merge(i,j);
            
        
        
        return cnt;
    
private:
    int* root;
    int* rank;
    int cnt;
    int find(int x)
        if(root[x] == x)
            return x;
        return root[x] = find(root[x]);
    
    void merge(int x,int y)
        int rootX = find(x);
        int rootY = find(y);
        if(rootX!=rootY)
            if(rank[rootX]<rank[rootY])
                root[rootX] = rootY;
            else if(rank[rootX]>rank[rootY])
                root[rootY] = rootX;
            else
                root[rootX] = rootY;
                rank[rootY]++;
            
            //初始有多个集合，一旦合并一次就少一个集合
            cnt--;
        
    
;