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向量是什么——线性代数本质(代码片段)

liuys635  liuys635  2023-05-03  730

关键词：

介绍

There is hardly any theory which is more elementary than linear algebra, in spite of the fact that generations of professors and textbook writers have obscured its simplicity by preposterous calculations with matrices.
— Jean Dieudonne

线性代数在很多领域都有应用

计算机科学
物理
电力工程
机械工程
统计
……

学过线性代数的学生可能都会做以下计算，但他们却不知道为什么要这样计算，它们分别代表的含义是什么？学生们对于线性代数中的几何意义的理解是非常模糊的

matrix multiplication - 矩阵乘法
the Determinant - 行列式
cross products - 交叉乘积
eigenvalues - 特征值

实际上，理解线性代数的几何意义，有助于在你遇到具体问题的时候，知道用什么工具去解决它们，这些工具为什么有效，并且对产生的结果做出解释。而理解线性代数的算术意义，只能够帮你在使用这些工具的时候，完成整个计算过程。所以学习线性代数的层次关系应该是，由底向上：

几何意义 -> 算术意义 -> 应用

于是，面对线性代数问题，人们更应该把计算部分交给计算机来完成，自己则专注于概念和原理部分。

向量是什么

The introduction of numbers as coordinates is an act of violence.
— Hermann Weyl

向量是线性代数基本构成要素的根源。不同的职业对向量有不同的视角：

物理系学生对向量的视角：vectors are arrows pointing in space. What defines a given vector is its length, and the direction it‘s pointing in.
计算机专业同学的视角: vectors are ordered lists of numbers. 2-dimensional is the fact that the length of that list is 2.

$技术图片$
数学专业的同学: generalise both of these views （线性代数中所有的课题都是围绕这两种操作进行的）:
1. 两个向量相加
2. 用一个常数和另一个向量相乘

Vector - 在坐标系中的有箭头的线段，它的末尾总在原点上，在2维空间中，向量 $技术图片$ 的第 1 个数字 $技术图片$ 是尖端落在 $技术图片$ 轴的长度，第 2 个数字 $技术图片$ 是尖端落在 $技术图片$ 轴的长度，如果落在原点的左边（ $技术图片$ 轴）和下边（ $技术图片$ 轴），则 $技术图片$ 、 $技术图片$ 的值为负数；在 3 维空间中，每个向量有 3 个数（ $技术图片$ 、 $技术图片$ 、 $技术图片$ ）来表示，分别是尖端落在 $技术图片$ 、 $技术图片$ 、 $技术图片$ 轴上的长度， $技术图片$ 、 $技术图片$ 、 $技术图片$ 同样是有符号的。

vector 相加的几何意义

向量 $技术图片$ （ $技术图片$ ）和向量 $技术图片$ （ $技术图片$ ）相加的示意图如下

保持 $技术图片$ 不动
保持 $技术图片$ 的方向不变，将 $技术图片$ 的末端平行移动到移动到 $技术图片$ 的尖端
从原点到 $技术图片$ 尖端的向量即为 $技术图片$ 和 $技术图片$ 的和

$技术图片$

向量和常量乘法的几何意义

用一个常量乘上一个向量，意味着将向量保持在其所在的直线上，对其长度进行拉伸、压缩和反向操作，例如 $技术图片$ 是将向量 $技术图片$ 的长度拉升为原来的 2 倍， $技术图片$ 是将 $技术图片$ 压缩为原来的 $技术图片$ ， $技术图片$ 是先对 $技术图片$ 进行反向，再将其长度拉伸为原来的 $技术图片$ 倍，这种操作有一个术语来描绘它 —— Scaling；而其中的系数 $技术图片$ 、 $技术图片$ 、 $技术图片$ ，被称为 Scalar。
$技术图片$

线性代数的本质-03-矩阵与线性变换

回顾上两节视频，第一个视频主要介绍了什么是向量，包括向量的两个基本运算数乘与累加。第二个视频主要介绍了向量衍生的分支，包括3个部分：1.基向量，向量是基向量伸缩变换后的累加和。2.线性组合，两个向量的标量乘... 查看详情

线性代数的本质与几何意义01.向量是什么？(3blue1brown咪博士图文注解版)

向量是线性代数最基础、最基本的概念之一，要深入理解线性代数的本质，首先就要搞清楚向量到底是什么？向量之所以让人迷糊，是因为我们在物理、数学，以及计算机等许多地方都见过它，但又没有彻底弄懂，以至于似是而... 查看详情

线性代数本质1：向量究竟是什么

文章目录一：不同的人如何看待向量二：坐标系中的向量表示三：坐标系中向量加法和数乘（1）相加（2）数乘一：不同的人如何看待向量向量的概念我们再熟悉不过了，他们在不同人眼中是不... 查看详情

线性代数的本质-01-向量究竟是什么？

　　前言--在线性代数的本质视频中，里面部分概念与内容没有完全理解。现在，做一个博客系列在完整的复习一遍，争取能够深入理解，同时对于弹幕以及评论中的提出的问题，在每个章节后面给出思考。同时，这个课程的直... 查看详情

向量是什么？

[python系列-14]：人工智能-数学基础-4-数组元素的线性代数运算(向量矩阵运算）(代码片段)

...;https://blog.csdn.net/HiWangWenBing/article/details/119301224目录第1章线性代数运算概述1.1什么是线性代数1.2线性代数运算1.3线性代数与深度智能的关系第2章向量与矩阵的定义2.1什么是向量2.2 查看详情

pca本质和svd

一、一些概念线性相关：其中一个向量可以由其他向量线性表出。线性无关：其中一个向量不可以由其他向量线性表出，或者另一种说法是找不到一个X不等于0，能够使得AX=0。如果对于一个矩阵A来说它的列是线性无关的，则AX=0... 查看详情

线性代数的本质与几何意义02.线性组合张成的空间基(3blue1brown咪博士图文注解版)

1.线性组合接下来我们要换一个角度来看向量。以二维平面直角坐标系为例，i,j分别是沿2个坐标轴方向的单位向量。那么坐标平面上的其他向量，例如[3 -2][3?与i,j是什么关系呢？将向量i沿水平向右的方向拉升3倍，向量j沿竖... 查看详情

linux从头学07：中断那么重要，它的本质到底是什么？(代码片段)

文章目录中断向量与中断描述符中断的分类内部中断外部中断中断号中断向量和中断处理程序中断向量的本质中断处理程序的安装中断现场的保护和恢复总结：中断的本质在软件开发中，中断是一个绕不开的重要话题ÿ... 查看详情

线性代数本质3：矩阵和线性变换

文章目录一：线性变换二：矩阵要说线性代数的精髓是什么？我认为就是本节的标题：矩阵和线性变换的关系。一：线性变换“变换”其实是函数的一个别称，函数我们很熟悉，它会接受内容而输出结... 查看详情

线性代数总结(代码片段)

...矩阵和张量1.1、标量（scalar）标量就是一个数，它不同于线性代数中的其他大部分研究对象（通常是多个数的数组）。标量一般用斜体的小写字母表示，当介绍标量时，我们会明确它是哪种类型的数，如s∈(mathbbR)表示一条线的... 查看详情

线性代数的本质行列式逆矩阵列空间秩零空间(代码片段)

线性代数的本质，源视频https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E目录行列式逆矩阵秩列空间与零空间非方阵行列式我们已经知道了矩阵的线性变换的意义，我们这节来学习行列式。我们现在想象一些线性变换，有一些将空间向外拉伸... 查看详情

支持向量机算法之鸢尾花特征分类机器学习(代码片段)

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线性代数精华——矩阵的特征值与特征向量(代码片段)

今天和大家聊一个非常重要，在机器学习领域也广泛使用的一个概念——矩阵的特征值与特征向量。我们先来看它的定义，定义本身很简单，假设我们有一个n阶的矩阵A以及一个实数(lambda)，使得我们可以找到一个非零向量x，满... 查看详情

[白话解析]深入浅出支持向量机(svm)之核函数(代码片段)

[白话解析]深入浅出支持向量机(SVM)之核函数0x00摘要本文在少用数学公式的情况下，尽量仅依靠感性直觉的思考来讲解支持向量机中的核函数概念，并且给大家虚构了一个水浒传的例子来做进一步的通俗解释。0x01问题在学习核函... 查看详情

线性代数[向量](代码片段)

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线性代数的本质-07-点积与对偶性

这两天学习状态不佳,苦恼!~点积所发挥的作用只能够从线性变换的角度去完成.向量w,v的点积相当于向量w朝着过原点的向量v在直线上的投影,而后将投影的长度与向量v的长度相乘.向量方向相同时,点积为正;向量方向相反时,点积为... 查看详情