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漫步最优化二十八——三次插值法

会敲键盘的猩猩  会敲键盘的猩猩  2023-03-25  116

关键词：

没有你的世界， $\\textbf没有你的世界，$

我会灵魂失控。 $\\textbf我会灵魂失控。$

没有你的世界， $\\textbf没有你的世界，$

我被乌云拖着走。 $\\textbf我被乌云拖着走。$

没有你的世界， $\\textbf没有你的世界，$

我的世界一直狂风暴雨。 $\\textbf我的世界一直狂风暴雨。$

我不能承受没有你的世界， $\\textbf我不能承受没有你的世界，$

因为我已经习惯有你的节奏。 $\\textbf因为我已经习惯有你的节奏。$

其实我的愿望很小， $\\textbf其实我的愿望很小，$

那就是每天看到你的微笑。 $\\textbf那就是每天看到你的微笑。$

——畅宝宝的傻逼哥哥 $\\quad\\textbf——畅宝宝的傻逼哥哥$

另一个一维优化方法是三次插值法，它是基于三阶多项式

p(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3 $p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$

与二次插值法一样，我们需要确定系数 $a_i$ 使得 $p(x)$ 在某些点的值以及(或者)导数与 $f(x)$ 的值以及(或者)导数相等，因为三阶不等式有四个系数，所以我们需要四个等式，选择不等式的方式有许多，因此三次插值的形式也有许多。

$p(x)$ 的图像可以是图1中的任何一个，显然， $p(x)$ 有一个极大值，还有一个极小值。令 $p(x)$ 的一阶导等于零，即

p′(x)=a1+2a2x+3a3x2=0 $p^\\prime(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2=0$

然后求解 $x$ ，可以得出 $p(x)$ 的极值点为

x=13a3(−a2±a22−3a1a3‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√) $x=\\frac13a_3\\left(-a_2\\pm\\sqrta_2^2-3a_1a_3\\right)$

在极小点 $\\barx$ 处， $p(x)$ 的二阶导数为正，所以

p″(x¯)=2a2+6a3x查看详情

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